Considere as funções e .
Mostre que o wronskiano é identicamente nulo no intervalo .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo pra gente mostrar que o wronskiano das funções e é zero em todo o intervalo de . Vamos usar o conceito de wronskiano, que faz parte de Equações Diferenciais, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o wronskiano. Para duas funções e , o wronskiano é definido por:
Ou seja, a gente precisa calcular as derivadas das duas funções e depois aplicar essa fórmula.

Passo 3

Vamos começar calculando as derivadas de e .
Para :
Para :
Aqui, precisamos ter cuidado porque a função tem um comportamento diferente dependendo se é positivo ou negativo. Então, vamos dividir em dois casos:
  1. Quando :
  2. Quando :

Passo 4

Agora que temos as derivadas, vamos calcular o wronskiano para os dois casos.
  1. Para :
  2. Para :

Passo 5

Em ambos os casos, independentemente de ser positivo ou negativo dentro do intervalo , o wronskiano resulta em zero.

Resposta

O wronskiano é identicamente nulo no intervalo , ou seja, .

Exercícios relacionados

Sabendo-se que as funções e são soluções linearmente independentes da equação
, encontre a solução geral de
.
Determinar uma solução particular de cada uma das seguintes equações.
Determinar uma solução particular de cada uma das seguintes equações.
Determinar uma solução particular de cada uma das seguintes equações.
.