Considere as funções y1(t) = t^2 e y2(t) = t * |t|.
Mostre que o wronskiano W(t) é identicamente nulo no intervalo -1 <= t <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo pra gente mostrar que o wronskiano das funções e é zero em todo o intervalo de . Vamos usar o conceito de wronskiano, que faz parte de Equações Diferenciais, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o wronskiano. Para duas funções e , o wronskiano é definido por:
Ou seja, a gente precisa calcular as derivadas das duas funções e depois aplicar essa fórmula.

Passo 3

Vamos começar calculando as derivadas de e .
Para :
Para :
Aqui, precisamos ter cuidado porque a função tem um comportamento diferente dependendo se é positivo ou negativo. Então, vamos dividir em dois casos:
  1. Quando :
  2. Quando :

Passo 4

Agora que temos as derivadas, vamos calcular o wronskiano para os dois casos.
  1. Para :
  2. Para :

Passo 5

Em ambos os casos, independentemente de ser positivo ou negativo dentro do intervalo , o wronskiano resulta em zero.

Resposta

O wronskiano é identicamente nulo no intervalo , ou seja, .

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