Considere as funções
e
.
Mostre que o wronskiano
é identicamente nulo no intervalo
.
Mostre que o wronskiano
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo pra gente mostrar que o wronskiano
das funções
e
é zero em todo o intervalo de
. Vamos usar o conceito de wronskiano, que faz parte de Equações Diferenciais, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o wronskiano. Para duas funções
e
, o wronskiano
é definido por:
Ou seja, a gente precisa calcular as derivadas das duas funções e depois aplicar essa fórmula.
Passo 3
Vamos começar calculando as derivadas de
e
.
Para
:
Para
:
Aqui, precisamos ter cuidado porque a função
tem um comportamento diferente dependendo se
é positivo ou negativo. Então, vamos dividir em dois casos:
-
Quando
: -
Quando
:
Passo 4
Agora que temos as derivadas, vamos calcular o wronskiano para os dois casos.
-
Para
: -
Para
:
Passo 5
Em ambos os casos, independentemente de
ser positivo ou negativo dentro do intervalo
, o wronskiano
resulta em zero.
Resposta
O wronskiano
é identicamente nulo no intervalo
, ou seja,
.
Exercícios relacionados
Sabendo-se que as funções
e
são soluções linearmente independentes da equação
Determinar uma solução particular de cada uma das seguintes equações.
Determinar uma solução particular de cada uma das seguintes equações.
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