Sabendo-se que as funções e são soluções linearmente independentes da equação
, encontre a solução geral de
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial bem legal aqui, que envolve funções trigonométricas e potências de . O objetivo é encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais lineares, solução de equações homogêneas e método de variação de parâmetros para encontrar uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação diferencial dada:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea. A parte à esquerda é a equação homogênea associada, e o lado direito é o termo não homogêneo.

Passo 3

Sabemos que as soluções da equação homogênea são e . Essas duas soluções são linearmente independentes, ou seja, uma não pode ser escrita como múltiplo da outra.
A solução geral da equação homogênea, então, é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa. Como o termo não homogêneo é , vamos usar o método de variação de parâmetros.
Primeiro, escrevemos a solução particular na forma:
onde e são funções a serem determinadas.

Passo 5

Para encontrar e , usamos as seguintes equações:
Simplificando a segunda equação:

Passo 6

Resolvendo esse sistema de equações, encontramos e . Após integração, obtemos:
Substituindo de volta na expressão para :
Simplificando:
Percebemos que a tentativa inicial não funcionou, então precisamos ajustar nossa abordagem.

Passo 7

Como a solução inicial foi anulada, isso significa que precisamos multiplicar por para encontrar uma solução particular adequada. Assim, assumimos:
Substituindo na equação diferencial e resolvendo para e , encontramos os valores:
Então, a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

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.
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