Sabendo-se que as funções
e
são soluções linearmente independentes da equação
, encontre a solução geral de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial bem legal aqui, que envolve funções trigonométricas e potências de
. O objetivo é encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais lineares, solução de equações homogêneas e método de variação de parâmetros para encontrar uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação diferencial dada:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea. A parte à esquerda é a equação homogênea associada, e o lado direito
é o termo não homogêneo.
Passo 3
Sabemos que as soluções da equação homogênea são
e
. Essas duas soluções são linearmente independentes, ou seja, uma não pode ser escrita como múltiplo da outra.
A solução geral da equação homogênea, então, é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa. Como o termo não homogêneo é
, vamos usar o método de variação de parâmetros.
Primeiro, escrevemos a solução particular na forma:
onde
e
são funções a serem determinadas.
Passo 5
Para encontrar
e
, usamos as seguintes equações:
Simplificando a segunda equação:
Passo 6
Resolvendo esse sistema de equações, encontramos
e
. Após integração, obtemos:
Substituindo de volta na expressão para
:
Simplificando:
Percebemos que a tentativa inicial não funcionou, então precisamos ajustar nossa abordagem.
Passo 7
Como a solução inicial foi anulada, isso significa que precisamos multiplicar por
para encontrar uma solução particular adequada. Assim, assumimos:
Substituindo
na equação diferencial e resolvendo para
e
, encontramos os valores:
Então, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
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Determinar uma solução particular de cada uma das seguintes equações.
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.
Considere as funções
e
.
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.
Mostre que o wronskiano
Determinar uma solução particular de cada uma das seguintes equações.