Determinar uma solução particular de cada uma das seguintes equações.
Passo 1
Então, a gente tem uma equação diferencial que precisa achar uma solução específica. A equação é:
Aqui, a matéria envolve equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar usar o método de coeficientes indeterminados, que nos ajuda a encontrar soluções particulares quando o lado direito da equação é uma combinação de funções exponenciais, polinomiais, senos ou cossenos.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
A gente monta a equação característica substituindo
:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, as raízes são
e
.
Passo 3
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da equação homogênea é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Aqui, o lado direito é uma soma de
e
. Porém, como essas funções já estão na solução homogênea, precisamos multiplicar por
para encontrar uma solução particular que não seja solução da homogênea.
Passo 5
Vamos supor que a solução particular seja:
Onde
e
são constantes que vamos determinar.
Passo 6
Calculamos as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Simplificando:
Passo 7
Substituímos
,
e
na equação original:
Passo 8
Expandindo e simplificando os termos:
Agrupando termos semelhantes:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 9
Igualando os coeficientes aos do lado direito da equação:
Isso nos dá:
Resposta
A solução particular é:
Exercícios relacionados
Determinar uma solução particular de cada uma das seguintes equações.
.
Sabendo-se que
e
são soluções de uma equação diferencial ordinária linear e não homogênea de
ordem, determinar a solução geral desta equação, onde:
e
;
Sabendo-se que as funções
e
são soluções linearmente independentes da equação
Considere as funções
e
.
Mostre que o wronskiano é identicamente nulo no intervalo
.
Mostre que o wronskiano