Determinar uma solução particular de cada uma das seguintes equações.

Passo 1

Então, a gente tem uma equação diferencial que precisa achar uma solução específica. A equação é:
Aqui, a matéria envolve equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar usar o método de coeficientes indeterminados, que nos ajuda a encontrar soluções particulares quando o lado direito da equação é uma combinação de funções exponenciais, polinomiais, senos ou cossenos.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
A gente monta a equação característica substituindo :
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, as raízes são e .

Passo 3

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da equação homogênea é:

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Aqui, o lado direito é uma soma de e . Porém, como essas funções já estão na solução homogênea, precisamos multiplicar por para encontrar uma solução particular que não seja solução da homogênea.

Passo 5

Vamos supor que a solução particular seja:
Onde e são constantes que vamos determinar.

Passo 6

Calculamos as derivadas de :
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Simplificando:

Passo 7

Substituímos , e na equação original:

Passo 8

Expandindo e simplificando os termos:
Agrupando termos semelhantes:
Para :
Para :
Para :
Para :

Passo 9

Igualando os coeficientes aos do lado direito da equação:
Isso nos dá:

Resposta

A solução particular é:

Exercícios relacionados

Determinar uma solução particular de cada uma das seguintes equações.
.
Sabendo-se que e são soluções de uma equação diferencial ordinária linear e não homogênea de ordem, determinar a solução geral desta equação, onde:
e ;
Sabendo-se que as funções e são soluções linearmente independentes da equação
, encontre a solução geral de
.
Considere as funções e .
Mostre que o wronskiano é identicamente nulo no intervalo .