Determinar uma solução particular de cada uma das seguintes equações.
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar uma solução particular da equação diferencial
Matéria envolvida: Equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos precisar usar o método dos coeficientes a determinar para encontrar a solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação. Ela é uma equação diferencial linear de segunda ordem:
Queremos encontrar uma solução particular que satisfaça essa equação.

Passo 3

O lado direito da equação é composto por dois termos: e . Isso significa que precisamos encontrar soluções particulares para cada um desses termos separadamente e depois somá-las.

Passo 4

Primeiro termo:
Para encontrar a solução particular para , assumimos que ela tem a forma:
Onde e são constantes que precisamos determinar.
Seguindo o método dos coeficientes a determinar:
Calculamos as derivadas:
Substituímos na equação diferencial:
Simplificamos:
Isso nos dá o sistema:
Resolvendo esse sistema:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Então, a solução particular para é:

Passo 5

Segundo termo:
Para encontrar a solução particular para , assumimos que ela tem a forma:
Calculamos as derivadas:
Substituímos na equação diferencial:
Simplificando:
Isso nos dá o sistema:
Aqui, vemos que o sistema não tem solução, o que indica que a nossa suposição inicial estava errada.

Passo 6

Quando o termo da solução particular está na forma da solução da equação homogênea associada, multiplicamos por para obter uma solução particular adequada.
A equação homogênea é:
Encontramos a equação característica:
Resolvendo:
Como está presente na solução homogênea, precisamos multiplicar nossa suposição por :
Calculamos as derivadas:
Substituímos na equação diferencial:
Simplificando:
Agrupando termos:
Isso resulta em:
Então temos o sistema:
Resolvendo:
Então, a solução particular para é:

Resposta

A solução particular da equação diferencial é

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