Considere que uma indústria de parafusos, com produção em larga escala, deseja monitorar a qualidade dos parafusos fabricados e, para tanto, seleciona 10 parafusos aleatoriamente da produção. Considerando que a proporção estimada de parafusos defeituosos no processo produtivo é 5 %, determine:
A probabilidade de não se encontrar qualquer parafuso defeituoso.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma fábrica de parafusos que quer ver se os parafusos que faz são de boa qualidade. Para isso, eles pegaram 10 parafusos de forma aleatória e sabem que, em média, 5% dos parafusos são defeituosos. Nosso objetivo aqui é descobrir qual a chance de, nessa seleção de 10 parafusos, nenhum ser defeituoso.

Passo 2

O que a gente vai usar aqui é a probabilidade binomial. Isso porque temos uma sequência de ensaios independentes (cada parafuso pode ser bom ou ruim), com duas possibilidades de resultado (defeituoso ou não), e a probabilidade de sucesso (no caso, defeito) é a mesma em cada ensaio.
Os parâmetros que a gente precisa são:
  • n: número de ensaios (parafusos), que é 10.
  • p: probabilidade de sucesso (um parafuso ser defeituoso), que é 5% ou 0,05.
  • k: número de sucessos que a gente quer calcular a probabilidade, que aqui é 0 (nenhum defeituoso).

Passo 3

A fórmula da probabilidade binomial é:
P(k) = binomnk times p^k times (1 - p)^n - k
Onde:
  • é o coeficiente binomial, que calcula de quantas formas podemos escolher k sucessos em n ensaios.
  • é a probabilidade de acontecer exatamente k sucessos.
  • é a probabilidade de os outros ensaios não serem sucessos.

Passo 4

Vamos aplicar os valores na fórmula:
P(0) = binom100 times 0,05^0 times (1 - 0,05)^10 - 0
Simplificando:
  • P(0) = 1 times 1 times 0,95^10 approx 0,5987 (tem apenas uma maneira de não escolher nada).
  • (qualquer número elevado a 0 é 1).
  • .
Então:

Resposta

A probabilidade de não encontrar nenhum parafuso defeituoso na amostra de 10 é aproximadamente 59,87%.

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