Suponha que no monitoramento de um processo de fabricação de chapas de aço a variável de interesse é o número de defeitos nessas chapas. Suponha, também, que o número de defeitos em 10 dessas chapas possa ser modelado por meio de uma distribuição de Poisson com média igual a 2. Determine:
A probabilidade de encontramos pelo menos 2 defeitos em 30 chapas inspecionadas;

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um processo de fabricação de chapas de aço onde queremos saber o número de defeitos. Sabemos que, em 10 chapas, o número de defeitos segue uma distribuição de Poisson com média igual a 2. O que queremos descobrir é a probabilidade de encontrar pelo menos 2 defeitos em 30 chapas inspecionadas. Para resolver isso, vamos usar a distribuição de Poisson e ajustar a média para o número de chapas que estamos analisando.

Passo 2

Primeiro, precisamos ajustar a média da distribuição de Poisson para as 30 chapas. Sabemos que em 10 chapas a média é 2. Então, para 30 chapas, a média ( lambda = 2 defeitos10 chapas times 30 chapas = 6 ) será:
Então, nossa distribuição de Poisson tem para 30 chapas.

Passo 3

A distribuição de Poisson nos dá a probabilidade de ocorrer um certo número de eventos (defeitos, nesse caso) em um intervalo fixo. A fórmula para a probabilidade de exatamente P(X = k) = e^-lambda lambda^kk! eventos é:
Mas queremos a probabilidade de pelo menos 2 defeitos, ou seja, .

Passo 4

Para calcular P(X >= 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1)] , é mais fácil calcular o complemento, que é a probabilidade de ter menos de 2 defeitos, ou seja, , e então subtrair esse valor de 1.

Passo 5

Vamos calcular P(X = 0) = e^-6 times 6^00! = e^-6 times 1 / 1 = e^-6 e P(X = 1) = e^-6 times 6^11! = e^-6 times 6 / 1 = 6e^-6 usando .

Passo 6

Agora, somamos essas probabilidades:
P(X < 2) = e^-6 + 6e^-6 = 7e^-6
Então,
P(X >= 2) = 1 - 7e^-6

Passo 7

Calculando o valor numérico:
Primeiro, calculamos e^-6 approx 0,00247875 :
7e^-6 approx 7 times 0,00247875 = 0,01735125
Então,
P(X >= 2) = 1 - 0,01735125 = 0,98264875
Finalmente,

Resposta

A probabilidade de encontrar pelo menos 2 defeitos em 30 chapas inspecionadas é aproximadamente 0,9826 ou 98,26%.

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