Um posto de revenda de combustível, funcionando 24 horas, atende, em média, 2 fregueses a cada 3 minutos.
Qual a probabilidade de que este posto atenda 5 fregueses no primeiro quarto de hora?

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão fala sobre a probabilidade de um posto de combustível atender um certo número de fregueses em um intervalo de tempo. O conteúdo principal aqui é Distribuição de Poisson, que é usada para modelar a probabilidade de um certo número de eventos ocorrer em um intervalo fixo de tempo ou espaço. Para resolver, vamos precisar calcular a taxa média de atendimento e aplicar a fórmula da Distribuição de Poisson.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a taxa média de atendimento. Sabemos que o posto atende, em média, 2 fregueses a cada 3 minutos. Queremos saber a taxa para 15 minutos (um quarto de hora).
Taxa média ( lambda = (2 fregueses3 minutos) times 15 minutos = 10 fregueses ) para 15 minutos:

Passo 3

Agora que temos P(k) = e^-lambda lambda^kk! , queremos encontrar a probabilidade de atender exatamente 5 fregueses em 15 minutos. Vamos usar a fórmula da Distribuição de Poisson:
Onde:
  • é a probabilidade de ocorrer exatamente eventos,
  • é a base dos logaritmos naturais (aproximadamente 2,71828),
  • é a taxa média de ocorrências,
  • é o fatorial de .

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula:
P(5) = e^-10 times 10^55!
Calculando o fatorial de 5:
5! = 5 times 4 times 3 times 2 times 1 = 120
Então:
P(5) = e^-10 times 100000120

Passo 5

Agora, vamos calcular e^-10 approx 0,0000453999 . Usando uma calculadora:
0,0000453999 times 100000 = 4,53999
Multiplicando:
4,53999120 approx 0,0378333
Dividindo por 120:

Resposta

A probabilidade de o posto atender exatamente 5 fregueses no primeiro quarto de hora é aproximadamente 0,0378 ou 3,78%.

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