Considere um inseto que está voando em uma trajetória espiral na tentativa de alcançar uma rosa. Se o movimento é tal que a distância radial diminui a uma taxa , enquanto a velocidade angular aumenta a uma taxa , obtenha a expressão para e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um inseto que voa em uma trajetória espiral em direção a uma rosa. O problema está relacionado a movimento em coordenadas polares, onde a distância radial diminui com o tempo e a velocidade angular aumenta. Vamos precisar usar as equações de velocidade e aceleração em coordenadas polares para encontrar as expressões de e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender as funções que descrevem o movimento do inseto:
  • A distância radial:
  • A velocidade angular:
Aqui, , e são constantes, e representa o tempo.

Passo 3

Para encontrar a velocidade do inseto, usamos a seguinte fórmula em coordenadas polares:
Onde:
  • é a derivada de em relação ao tempo.
  • é o termo que representa a velocidade angular.
  • e são os vetores unitários nas direções radial e angular, respectivamente.

Passo 4

Vamos calcular , que é a derivada de :
Agora, já sabemos que e . Substituindo esses valores na fórmula da velocidade:

Passo 5

Simplificando a expressão da velocidade:

Passo 6

Agora, para encontrar a aceleração , usamos a fórmula em coordenadas polares:
Onde:
  • é a segunda derivada de .
  • é a segunda derivada de .

Passo 7

Vamos calcular as derivadas necessárias:
Agora, substituindo na fórmula da aceleração:

Passo 8

Simplificando as expressões:
Para a componente radial:
Para a componente angular:
Então, a aceleração fica:

Resposta

As expressões para a velocidade e aceleração do inseto são:

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Mostre que, se é um vetor qualquer que depende do tempo (por exemplo, a velocidade de uma partícula) mas que possui magnitude constante, então é ortogonal a . Mostre o inverso, se é ortogonal a , então é constante. Sugestão considere a derivada de . Esse é um resultado muito útil. Ele explica por que, em coordenadas polares bidimensionais, deve estar na direção de e vice-versa Ele também mostra que a velocidade de uma partícula carregada em um campo magnético é constante, desde que a aceleração seja perpendicular à velocidade.
Dois vetores são dados como e . Determine .
Aplicando o teorema de Pitágoras (a versão comum bidimensional) duas vezes, mostre que o comprimento r de um vetor tridimensional satisfaz