Aplicando o teorema de Pitágoras (a versão comum bidimensional) duas vezes, mostre que o comprimento r de um vetor tridimensional satisfaz

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício pede: temos um vetor tridimensional e queremos encontrar o comprimento desse vetor, que é representado por . Para isso, vamos usar o Teorema de Pitágoras duas vezes. Isso envolve entender como calcular distâncias no espaço 3D usando a geometria do triângulo retângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar apenas as duas primeiras componentes do vetor, e . Imagine que você tem um triângulo retângulo onde os catetos são e . Pelo Teorema de Pitágoras, a hipotenusa desse triângulo, que vamos chamar de , é dada por:
Aqui, representa a distância do ponto até a origem no plano bidimensional.

Passo 3

Agora, vamos incorporar a terceira componente, . Pense que agora temos um novo triângulo retângulo onde um cateto é (que já calculamos) e o outro cateto é . Aplicando novamente o Teorema de Pitágoras, a hipotenusa desse triângulo maior será o comprimento total do vetor , ou seja, :
Substituindo pela expressão que encontramos no Passo 2:

Resposta

O comprimento do vetor tridimensional é dado por:

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Dois vetores são dados como e . Determine .
Considere um inseto que está voando em uma trajetória espiral na tentativa de alcançar uma rosa. Se o movimento é tal que a distância radial diminui a uma taxa , enquanto a velocidade angular aumenta a uma taxa , obtenha a expressão para e .
Uma partícula se move em um círculo (cento O e raio R ) com velocidade angular constante , no sentido anti-horário. O círculo está sobre o plano xy e a partícula está sobre o eixo x no instante .
a) Mostre que a posição da partícula é dada por .
b) Determine a velocidade e a aceleração da partícula. (
c) Quais são a magnitude e a direção da aceleração? ( )
d) Relacione seu resultado com as propriedades bem conhecidas do movimento circular uniforme.
Considerando toda a superfície da bola e da caixa. Qual é o fluxo do campo elétrico sobre cada uma dessas superfícies? Justifique.