Considere as integrais iteradas
onde
é contínua em
. Esboçe a união das regiões de integração das integrais iteradas. Invertendo a ordem de integração das integrais iteradas, mostre que a soma dessas integrais é uma integral iterada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão envolve integrais iteradas, especificamente integrando uma função contínua
sobre duas regiões diferentes no plano
. Nosso objetivo é esboçar a união dessas regiões de integração e, depois, inverter a ordem de integração para mostrar que a soma dessas integrais resulta em uma integral iterada única.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender as duas integrais que foram dadas:
Cada uma dessas integrais representa a integração da função
sobre uma região específica no plano
.
Passo 3
Vamos esboçar as regiões de integração para cada integral. Para a primeira integral:
-
varia de a 1. - Para cada
, varia de 0 a .
Para a segunda integral:
-
varia de 1 a . - Para cada
, varia de a 1.
Passo 4
Agora, vamos representar essas regiões no plano
:
-
Primeira Região (
): -
-
Segunda Região (
): -
Passo 5
A união dessas duas regiões,
, forma uma única região contínua no plano
onde:
-
-
para -
para
Passo 6
Agora, vamos inverter a ordem de integração. Em vez de integrar primeiro em
e depois em
, vamos integrar primeiro em
e depois em
.
Para isso, precisamos determinar os limites de
em termos de
:
- Observando
e , notamos que para fixo, varia de a quando e de a quando .
Passo 7
Com os limites ajustados, podemos reescrever a soma das integrais como uma única integral iterada:
Passo 8
Finalmente, combinando as duas integrais, temos:
Isso mostra que a soma das integrais originais pode ser expressa como uma única integral iterada com a ordem de integração invertida.
Resposta
A soma das integrais dadas é igual a