Considere as integrais iteradas
integrale^-1^1(integral0^1+ln (x) f(x, y) d y) d x e integral1^e(integralln (x)^1 f(x, y) d y) d x
onde f(x, y) é contínua em R^2. Esboçe a união das regiões de integração das integrais iteradas. Invertendo a ordem de integração das integrais iteradas, mostre que a soma dessas integrais é uma integral iterada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão envolve integrais iteradas, especificamente integrando uma função contínua sobre duas regiões diferentes no plano . Nosso objetivo é esboçar a união dessas regiões de integração e, depois, inverter a ordem de integração para mostrar que a soma dessas integrais resulta em uma integral iterada única.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender as duas integrais que foram dadas:
Cada uma dessas integrais representa a integração da função sobre uma região específica no plano .

Passo 3

Vamos esboçar as regiões de integração para cada integral. Para a primeira integral:
  • varia de a 1.
  • Para cada , varia de 0 a .
Para a segunda integral:
  • varia de 1 a .
  • Para cada , varia de a 1.

Passo 4

Agora, vamos representar essas regiões no plano :
  1. Primeira Região ( ):
  2. Segunda Região ( ):

Passo 5

A união dessas duas regiões, , forma uma única região contínua no plano onde:
  • para
  • para

Passo 6

Agora, vamos inverter a ordem de integração. Em vez de integrar primeiro em e depois em , vamos integrar primeiro em e depois em .
Para isso, precisamos determinar os limites de em termos de :
  • Observando e , notamos que para fixo, varia de a quando e de a quando .

Passo 7

Com os limites ajustados, podemos reescrever a soma das integrais como uma única integral iterada:
integral0^1 ( integrale^-1^e^y-1 f(x, y) , dx ) dy + integral1^2 ( integrale^y-1^e^y f(x, y) , dx ) dy

Passo 8

Finalmente, combinando as duas integrais, temos:
integral0^2 ( integralmax(e^-1, e^y-1)^min(e^y, e) f(x, y) , dx ) dy
Isso mostra que a soma das integrais originais pode ser expressa como uma única integral iterada com a ordem de integração invertida.

Resposta

A soma das integrais dadas é igual a
integral0^2 ( integralmax(e^-1, e^y-1)^min(e^y, e) f(x, y) , dx ) dy

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