Calcule o volume dos sólidos dados. S: x >= 0, y >= 0, z >= 0, x + y <= 2 e z = 12 - 3 y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o volume de um sólido definido por algumas condições: , , , e . Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente integrais múltiplas para encontrar volumes.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender os limites das variáveis , e . Sabemos que e são não negativas e que . Além disso, varia de 0 até .

Passo 3

Vamos definir as integrais para calcular o volume. O volume pode ser encontrado integrando de 0 até , de 0 até e de 0 até 2:

Passo 4

Começamos integrando em relação a :
Agora, a integral fica:

Passo 5

Em seguida, integrando em relação a :
Agora, a integral fica:

Passo 6

Vamos multiplicar os termos dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 7

Agora, integramos cada termo separadamente em relação a :
Juntando tudo:

Passo 8

Substituindo :
E para , todos os termos são zero.

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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