Calcule o volume dos sólidos dados.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume do sólido
que é definido pelas coordenadas
onde
,
e
. Para isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente integrais múltiplas, que ajudam a encontrar volumes de formas mais complexas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como montar a integral para calcular o volume. O volume
pode ser encontrado integrando a função que define
sobre a área da base no plano
. Então, temos:
Aqui,
é a função que nos dá a altura do sólido em cada ponto
.
Passo 3
Vamos começar integrando em relação a
. Então, fixamos
e integramos
de
a
:
Calculando cada parte:
Então, a integral em
resulta em
.
Passo 4
Agora, vamos integrar essa expressão em relação a
de
a
:
Calculando cada parte:
Somando as duas partes:
Resposta
O volume do sólido
é
unidades cúbicas.