Calcule o volume dos sólidos dados. S = {(x, y, z): 0 <= x <= 1, 0 <= y <= 1, 0 <= z <= 3*x + 2*y}

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume do sólido que é definido pelas coordenadas onde , e . Para isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente integrais múltiplas, que ajudam a encontrar volumes de formas mais complexas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como montar a integral para calcular o volume. O volume pode ser encontrado integrando a função que define sobre a área da base no plano . Então, temos:
Aqui, é a função que nos dá a altura do sólido em cada ponto .

Passo 3

Vamos começar integrando em relação a . Então, fixamos e integramos de a :
Calculando cada parte:
Então, a integral em resulta em .

Passo 4

Agora, vamos integrar essa expressão em relação a de a :
Calculando cada parte:
Somando as duas partes:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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