Determine o domínio, imagem, curvas de níveis (se pertinente) e gráfico das funções dadas. Use o geogebra para fazer a representação gráfica.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o domínio, imagem, curvas de nível (se aplicável) e o gráfico da função
. Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de funções de duas variáveis, como domínio, imagem e curvas de nível. Além disso, utilizaremos o GeoGebra para fazer a representação gráfica.
Passo 2
Dominio: O domínio de uma função é o conjunto de todos os pares
para os quais a função está definida. No caso de
, a expressão dentro da raiz quadrada,
, precisa ser maior ou igual a zero para que a função seja real e definida. Então, temos:
Isso significa que o domínio é todos os pares
onde a soma de
e
é pelo menos zero.
Passo 3
Imagem: A imagem da função é o conjunto de todos os valores possíveis de
. Como estamos lidando com a raiz quadrada, o resultado sempre será um número real não negativo. Portanto, a imagem de
é:
Ou seja, todos os números reais maiores ou iguais a zero.
Passo 4
Curvas de nível: As curvas de nível de uma função de duas variáveis são linhas no plano
onde a função assume um valor constante. Para
, podemos definir uma constante
e resolver para
:
Isso mostra que as curvas de nível são retas da forma
. Cada nível
corresponde a uma reta inclinada de 45 graus no plano
.
Passo 5
Gráfico: Para representar graficamente a função
, podemos usar o GeoGebra. O gráfico será uma superfície que se estende acima do plano
apenas onde
. Visualmente, é uma espécie de “planície” que cresce conforme
aumenta, sempre mantendo a condição
.
Resposta
- Domínio:
- Imagem:
- Curvas de nível: Retas da forma
, onde - Gráfico: Superfície definida por
no GeoGebra