Determine o domínio, imagem, curvas de níveis (se pertinente) e gráfico das funções dadas. Use o geogebra para fazer a representação gráfica. f(x, y) = raiz(x + y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o domínio, imagem, curvas de nível (se aplicável) e o gráfico da função . Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de funções de duas variáveis, como domínio, imagem e curvas de nível. Além disso, utilizaremos o GeoGebra para fazer a representação gráfica.

Passo 2

Dominio: O domínio de uma função é o conjunto de todos os pares para os quais a função está definida. No caso de , a expressão dentro da raiz quadrada, , precisa ser maior ou igual a zero para que a função seja real e definida. Então, temos:
Isso significa que o domínio é todos os pares onde a soma de e é pelo menos zero.

Passo 3

Imagem: A imagem da função é o conjunto de todos os valores possíveis de . Como estamos lidando com a raiz quadrada, o resultado sempre será um número real não negativo. Portanto, a imagem de é:
Ou seja, todos os números reais maiores ou iguais a zero.

Passo 4

Curvas de nível: As curvas de nível de uma função de duas variáveis são linhas no plano onde a função assume um valor constante. Para , podemos definir uma constante e resolver para :
Isso mostra que as curvas de nível são retas da forma . Cada nível corresponde a uma reta inclinada de 45 graus no plano .

Passo 5

Gráfico: Para representar graficamente a função , podemos usar o GeoGebra. O gráfico será uma superfície que se estende acima do plano apenas onde . Visualmente, é uma espécie de “planície” que cresce conforme aumenta, sempre mantendo a condição .

Resposta

  • Domínio:
  • Imagem:
  • Curvas de nível: Retas da forma , onde
  • Gráfico: Superfície definida por no GeoGebra

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