Considere a integral
a) Usando cálculo de integrais, mostre que o valor exato é
.
b) Usando a regra do trapézio composta com
, mostre que
b) Usando a regra do trapézio composta com
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma integral definida:
A matéria envolvida é o Cálculo de Integrais, que é uma parte importante do cálculo. Para resolver, vamos precisar saber como integrar funções simples e aplicar a Regra do Trapézio composta para uma aproximação numérica.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte a) do exercício, onde precisamos encontrar o valor exato da integral.
A função que queremos integrar é
. Sabemos que a integral de
com respeito a
é o logaritmo natural de
, ou seja:
Onde
é a constante de integração. Como estamos calculando uma integral definida de 0 a 1, a constante não vai influenciar no resultado final.
Passo 3
Agora, aplicamos os limites de integração:
Sabemos que
, então:
Passo 4
Agora vamos para a parte b), onde usamos a Regra do Trapézio composta com
para aproximar o valor da integral.
A Regra do Trapézio composta divide o intervalo de integração em
subintervalos iguais e aproxima a área sob a curva como a soma de trapezoides. A fórmula geral é:
Onde
.
Passo 5
Vamos calcular
:
Agora, determinamos os pontos
:
Passo 6
Calculamos os valores de
:
Passo 7
Aplicando os valores na fórmula da Regra do Trapézio:
Resposta
a) O valor exato da integral é
.
b) Usando a Regra do Trapézio composta com
, a aproximação da integral é
.