Considere a integral
I=integral0^1 11+x d x
a) Usando cálculo de integrais, mostre que o valor exato é I=ln 2=0.69314 ldots.
b) Usando a regra do trapézio composta com N=4, mostre que
I simeq 0.6970

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma integral definida:
I=integral0^1 11+x , dx
A matéria envolvida é o Cálculo de Integrais, que é uma parte importante do cálculo. Para resolver, vamos precisar saber como integrar funções simples e aplicar a Regra do Trapézio composta para uma aproximação numérica.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte a) do exercício, onde precisamos encontrar o valor exato da integral.
A função que queremos integrar é f(x) = 11+x. Sabemos que a integral de 11+x com respeito a x é o logaritmo natural de 1+x, ou seja:
integral 11+x , dx = ln|1+x| + C
Onde C é a constante de integração. Como estamos calculando uma integral definida de 0 a 1, a constante não vai influenciar no resultado final.

Passo 3

Agora, aplicamos os limites de integração:
I = [ ln(1+x) ]0^1 = ln(1+1) - ln(1+0) = ln(2) - ln(1)
Sabemos que ln(1) = 0, então:
I = ln(2) approx 0.69314

Passo 4

Agora vamos para a parte b), onde usamos a Regra do Trapézio composta com N=4 para aproximar o valor da integral.
A Regra do Trapézio composta divide o intervalo de integração em N subintervalos iguais e aproxima a área sob a curva como a soma de trapezoides. A fórmula geral é:
I approx De
Onde De.

Passo 5

Vamos calcular De:
De
Agora, determinamos os pontos xi:
x0 = 0, x1 = 0.25, x2 = 0.5, x3 = 0.75, x4 = 1

Passo 6

Calculamos os valores de f(xi):
f(x0) = 11+0 = 1 f(x1) = 11+0.25 = 11.25 = 0.8 f(x2) = 11+0.5 = 11.5 approx 0.6667 f(x3) = 11+0.75 = 11.75 approx 0.5714 f(x4) = 11+1 = 0.5

Passo 7

Aplicando os valores na fórmula da Regra do Trapézio:
I approx 0.252 [ 1 + 2(0.8 + 0.6667 + 0.5714) + 0.5 ] I approx 0.125 [ 1 + 2(2.0381) + 0.5 ] I approx 0.125 [ 1 + 4.0762 + 0.5 ] I approx 0.125 times 5.5762 I approx 0.6970

Resposta

a) O valor exato da integral é I = ln 2 approx 0.69314.
b) Usando a Regra do Trapézio composta com N=4, a aproximação da integral é I approx 0.6970.

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