Defina . Repetindo a mesma ideia do exercício anterior, mostre que na regra de Simpson composta tem-se
|E_{SC}| <= 10^{-m} quando N >= (b - a)^{5/4} raiz(10^{m} L / 180)
x
f(x)
x0 = 0.0
1.0
x1 = 0.25
0.8
x2 = 0.5
1.3
x3 = 0.75
1.1
x4 = 1.0
1.6
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida no intervalo e queremos aplicar a regra de Simpson composta para aproximar a integral dessa função. Para garantir que o erro dessa aproximação seja menor ou igual a , precisamos determinar um valor mínimo para o número de subintervalos que vamos dividir o intervalo . Para isso, vamos usar o conceito de erro na regra de Simpson e a definição de , que é o máximo do valor absoluto da quarta derivada de no intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula do erro para a regra de Simpson composta. O erro na regra de Simpson é dado por:
Aqui, é definido como:
Essa fórmula nos mostra como o erro está relacionado ao tamanho do intervalo , ao número de subintervalos , e ao valor máximo da quarta derivada da função no intervalo.
Passo 3
Queremos que o erro seja menor ou igual a . Portanto, vamos igualar a fórmula do erro a e resolver para :
Passo 4
Agora, vamos isolar na inequação:
Para facilitar, multiplicamos ambos os lados por :
Passo 5
Para encontrar , tiramos a raiz quarta de ambos os lados:
Podemos reescrever isso como:
Passo 6
E voilà! Chegamos à expressão que nos dá o número mínimo de subintervalos necessário para que o erro na regra de Simpson composta seja menor ou igual a :
Resposta
Assim, mostramos que na regra de Simpson composta, o erro é menor ou igual a quando o número de subintervalos satisfaz a seguinte condição: