Use a regra dos trapézios com N=10 para aproximar integral1^2 e^1x d x e encontre N para que a aproximação usando a regra dos trapézios seja de precisão 0.0001 .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para usar a Regra dos Trapézios com N=10 para aproximar a integral . Além disso, precisamos encontrar um valor de N que torne essa aproximação precisa até 0.0001. Para isso, vamos precisar entender como funciona a Regra dos Trapézios e aplicar algumas fórmulas matemáticas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Regra dos Trapézios. Ela é um método numérico para aproximar integrais definidas. A ideia é dividir a área sob a curva em trapézios em vez de retângulos, o que geralmente dá uma aproximação mais precisa.
A fórmula da Regra dos Trapézios com N subdivisões é:
TN = De
onde:
  • é a função que estamos integrando.

Passo 3

Vamos aplicar isso ao nosso caso. Aqui, De, e . Com N=10, temos:

Passo 4

Agora, precisamos calcular os pontos xi = 1 + i times 0,1 para i = 1,2,ldots,9 de a :
Então, os são: 1.1, 1.2, …, 1.9.

Passo 5

Vamos calcular f(1.1) = e^11.1, f(1.2) = e^11.2, ldots, f(1.9) = e^11.9 para cada :
Esses valores serão somados na fórmula da Regra dos Trapézios.

Passo 6

Substituindo na fórmula:
T10 = 0,12 [ e^1 + 2 sumi=1^9 e^1xi + e^12 ]
Agora, basta calcular essa expressão para obter a aproximação.

Passo 7

Depois de calcular os valores e somar, obtemos a aproximação da integral usando N=10.

Passo 8

Para encontrar o valor de N que garante uma precisão de 0.0001, usamos a estimativa do erro da Regra dos Trapézios:
|ET| <= (b - a)^312 N^2 maxa <= x <= b |f''(x)|
Precisamos que esse erro seja menor que 0.0001.

Passo 9

Calculamos a segunda derivada de f'(x) = -1x^2 e^1x, f''(x) = 2x^3 e^1x - 1x^4 e^1x = e^1x ( 2x^3 - 1x^4 ) :
Encontra-se o máximo de no intervalo .

Passo 10

Depois de encontrar o (2 - 1)^312 N^2 max |f''(x)| < 0,0001 , resolvemos a desigualdade:
N > raiz 112 times 0,0001 max |f''(x)|
Isolando N:
Calculando isso nos dará o valor mínimo de N requerido.

Resposta

Usando a Regra dos Trapézios com N=10, a aproximação da integral é aproximadamente [valor calculado]. Para garantir uma precisão de 0.0001, é necessário escolher um N maior que [valor calculado para N].

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