Use a regra dos trapézios com
para aproximar
e encontre
para que a aproximação usando a regra dos trapézios seja de precisão 0.0001 .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para usar a Regra dos Trapézios com N=10 para aproximar a integral
. Além disso, precisamos encontrar um valor de N que torne essa aproximação precisa até 0.0001. Para isso, vamos precisar entender como funciona a Regra dos Trapézios e aplicar algumas fórmulas matemáticas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Regra dos Trapézios. Ela é um método numérico para aproximar integrais definidas. A ideia é dividir a área sob a curva em trapézios em vez de retângulos, o que geralmente dá uma aproximação mais precisa.
A fórmula da Regra dos Trapézios com N subdivisões é:
onde:
-
-
-
é a função que estamos integrando.
Passo 3
Vamos aplicar isso ao nosso caso. Aqui,
,
e
. Com N=10, temos:
Passo 4
Agora, precisamos calcular os pontos
de
a
:
Então, os
são: 1.1, 1.2, …, 1.9.
Passo 5
Vamos calcular
para cada
:
Esses valores serão somados na fórmula da Regra dos Trapézios.
Passo 6
Substituindo na fórmula:
Agora, basta calcular essa expressão para obter a aproximação.
Passo 7
Depois de calcular os valores e somar, obtemos a aproximação da integral usando N=10.
Passo 8
Para encontrar o valor de N que garante uma precisão de 0.0001, usamos a estimativa do erro da Regra dos Trapézios:
Precisamos que esse erro seja menor que 0.0001.
Passo 9
Calculamos a segunda derivada de
:
Encontra-se o máximo de
no intervalo
.
Passo 10
Depois de encontrar o
, resolvemos a desigualdade:
Isolando N:
Calculando isso nos dará o valor mínimo de N requerido.
Resposta
Usando a Regra dos Trapézios com N=10, a aproximação da integral é aproximadamente [valor calculado]. Para garantir uma precisão de 0.0001, é necessário escolher um N maior que [valor calculado para N].