Suponha que
. Determine a estimativa para o erro
da regra do trapézio ao aproximar
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral de
de
até
, onde
. A pergunta quer saber qual é a estimativa para o erro (
) quando usamos a regra do trapézio para aproximar essa integral. Para resolver isso, vamos precisar lembrar da fórmula de erro da regra do trapézio e calcular a segunda derivada da função que estamos integrando.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar qual é a fórmula do erro na regra do trapézio. Ela nos diz que o erro
é proporcional ao intervalo elevado à terceira potência vezes o valor máximo da segunda derivada da função no intervalo. Matematicamente, isso fica assim:
Isso significa que, para estimar o erro, precisamos encontrar a segunda derivada da função e descobrir qual é o máximo valor absoluto dela no intervalo de
até
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada da função
. Primeiro, vamos achar a primeira derivada:
Em seguida, a segunda derivada é:
Então, a segunda derivada de
é
.
Passo 4
Precisamos encontrar o máximo valor absoluto de
no intervalo
. Como
, o valor absoluto fica:
Observe que
diminui à medida que
aumenta porque
está no denominador. Portanto, o valor máximo de
ocorre no menor valor de
, que é
.
Então,
Passo 5
Agora, vamos substituir esses valores na fórmula do erro:
Resposta
A estimativa para o erro
da regra do trapézio é: