Suponha que 0. Determine a estimativa para o erro mathscrET da regra do trapézio ao aproximar
integrala^b-1x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral de de até , onde . A pergunta quer saber qual é a estimativa para o erro ( ) quando usamos a regra do trapézio para aproximar essa integral. Para resolver isso, vamos precisar lembrar da fórmula de erro da regra do trapézio e calcular a segunda derivada da função que estamos integrando.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar qual é a fórmula do erro na regra do trapézio. Ela nos diz que o erro mathscrET <= (b - a)^312 cdot maxx in [a, b] |f''(x)| é proporcional ao intervalo elevado à terceira potência vezes o valor máximo da segunda derivada da função no intervalo. Matematicamente, isso fica assim:
Isso significa que, para estimar o erro, precisamos encontrar a segunda derivada da função e descobrir qual é o máximo valor absoluto dela no intervalo de até .

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada da função f'(x) = 2x^3 . Primeiro, vamos achar a primeira derivada:
f''(x) = -6x^4
Em seguida, a segunda derivada é:
Então, a segunda derivada de é .

Passo 4

Precisamos encontrar o máximo valor absoluto de |f''(x)| = 6x^4 no intervalo maxx in [a, b] |f''(x)| = 6a^4 . Como , o valor absoluto fica:
Observe que diminui à medida que aumenta porque está no denominador. Portanto, o valor máximo de ocorre no menor valor de , que é .
Então,

Passo 5

Agora, vamos substituir esses valores na fórmula do erro:
mathscrET <= (b - a)^312 cdot 6a^4 = (b - a)^3 cdot 612 cdot a^4 = (b - a)^32a^4

Resposta

A estimativa para o erro mathscrET <= (b - a)^32a^4 da regra do trapézio é:

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