Seja D a região em R^2 com y >= 0 que é limitada por x^2+y^2=9 e a reta y=0. Determine o valor de integral duplaD(2 x^3-y^4 sen x-2) d A.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o enunciado pede. Temos uma região no plano onde e está limitada pelo círculo e pela reta . Isso significa que é a metade superior de um círculo de raio 3. O objetivo é calcular a integral dupla de sobre essa região. Para resolver isso, precisaremos entender como configurar a integral dupla e escolher o sistema de coordenadas mais conveniente.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . Como representa um círculo com raio 3 e , é a semicircunferência superior. Para facilitar a integração, podemos usar coordenadas polares, já que a região tem simetria circular.

Passo 3

Em coordenadas polares, as relações são:
x = r cos theta e y = r sin theta
O elemento de área em coordenadas polares é . Além disso, os limites de vão de 0 a 3 (raio do círculo) e vai de 0 a (para cobrir a semicircunferência superior).

Passo 4

Vamos reescrever a função a ser integrada em coordenadas polares:
2x^3 - y^4 sin x - 2 = 2(r cos theta)^3 - (r sin theta)^4 sin(r cos theta) - 2
Simplificando:
2r^3 cos^3 theta - r^4 sin^4 theta sin(r cos theta) - 2
A integral dupla torna-se:
integral duplaD (2x^3 - y^4 sin x - 2) dA = integral0^pi integral0^3 (2r^3 cos^3 theta - r^4 sin^4 theta sin(r cos theta) - 2) r , dr , dtheta

Passo 5

Vamos separar a integral em três partes:
I = integral0^pi integral0^3 2r^4 cos^3 theta , dr , dtheta - integral0^pi integral0^3 r^5 sin^4 theta sin(r cos theta) , dr , dtheta - integral0^pi integral0^3 2r , dr , dtheta
Vamos resolver cada integral separadamente.

Passo 6

Primeira integral:
I1 = 2 integral0^pi cos^3 theta , dtheta integral0^3 r^4 , dr
Calculando as integrais:
integral0^3 r^4 , dr = [ r^55 ]0^3 = 2435
E:
integral0^pi cos^3 theta , dtheta = 0
Porque a função é ímpar em relação a e a integração sobre um intervalo simétrico resulta em zero.

Passo 7

Segunda integral:
I2 = integral0^pi sin^4 theta , dtheta integral0^3 r^5 sin(r cos theta) , dr
Essa integral é complexa e não possui uma antiderivada elementar. No entanto, podemos notar que, devido à simetria e às propriedades das funções ímpares, essa integral também resulta em zero.

Passo 8

Terceira integral:
I3 = 2 integral0^pi dtheta integral0^3 r , dr
Calculando as integrais:
integral0^3 r , dr = [ r^22 ]0^3 = 92
E:
integral0^pi dtheta = pi
Então:
I3 = 2 times pi times 92 = 9pi

Resposta

O valor da integral é .

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