Seja a região em com que é limitada por e a reta . Determine o valor de .

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o enunciado pede. Temos uma região no plano onde e está limitada pelo círculo e pela reta . Isso significa que é a metade superior de um círculo de raio 3. O objetivo é calcular a integral dupla de sobre essa região. Para resolver isso, precisaremos entender como configurar a integral dupla e escolher o sistema de coordenadas mais conveniente.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . Como representa um círculo com raio 3 e , é a semicircunferência superior. Para facilitar a integração, podemos usar coordenadas polares, já que a região tem simetria circular.

Passo 3

Em coordenadas polares, as relações são:
O elemento de área em coordenadas polares é . Além disso, os limites de vão de 0 a 3 (raio do círculo) e vai de 0 a (para cobrir a semicircunferência superior).

Passo 4

Vamos reescrever a função a ser integrada em coordenadas polares:
Simplificando:
A integral dupla torna-se:

Passo 5

Vamos separar a integral em três partes:
Vamos resolver cada integral separadamente.

Passo 6

Primeira integral:
Calculando as integrais:
E:
Porque a função é ímpar em relação a e a integração sobre um intervalo simétrico resulta em zero.

Passo 7

Segunda integral:
Essa integral é complexa e não possui uma antiderivada elementar. No entanto, podemos notar que, devido à simetria e às propriedades das funções ímpares, essa integral também resulta em zero.

Passo 8

Terceira integral:
Calculando as integrais:
E:
Então:

Resposta

O valor da integral é .

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Determine o volume do sólido limitado acima pelo plano e abaixo pela região no plano entre as curvas e o eixo .
a) Seja uma região de . Use a definição de integral dupla para explicar porque é a área de .
Considere a integral
b) Esboce a região de integração.
Calcule as integrais abaixo: