Seja
a região em
com
que é limitada por
e a reta
. Determine o valor de
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o enunciado pede. Temos uma região
no plano
onde
e está limitada pelo círculo
e pela reta
. Isso significa que
é a metade superior de um círculo de raio 3. O objetivo é calcular a integral dupla de
sobre essa região. Para resolver isso, precisaremos entender como configurar a integral dupla e escolher o sistema de coordenadas mais conveniente.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
. Como
representa um círculo com raio 3 e
,
é a semicircunferência superior. Para facilitar a integração, podemos usar coordenadas polares, já que a região tem simetria circular.
Passo 3
Em coordenadas polares, as relações são:
O elemento de área
em coordenadas polares é
. Além disso, os limites de
vão de 0 a 3 (raio do círculo) e
vai de 0 a
(para cobrir a semicircunferência superior).
Passo 4
Vamos reescrever a função a ser integrada em coordenadas polares:
Simplificando:
A integral dupla torna-se:
Passo 5
Vamos separar a integral em três partes:
Vamos resolver cada integral separadamente.
Passo 6
Primeira integral:
Calculando as integrais:
E:
Porque a função
é ímpar em relação a
e a integração sobre um intervalo simétrico resulta em zero.
Passo 7
Segunda integral:
Essa integral é complexa e não possui uma antiderivada elementar. No entanto, podemos notar que, devido à simetria e às propriedades das funções ímpares, essa integral também resulta em zero.
Passo 8
Terceira integral:
Calculando as integrais:
E:
Então:
Resposta
O valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Determine o volume do sólido limitado acima pelo plano
e abaixo pela região no plano
entre as curvas
e o eixo
.
a) Seja
uma região de
. Use a definição de integral dupla para explicar porque
é a área de
.
Considere a integral
b) Esboce a região de integração.
Calcule as integrais abaixo: