Determine o volume do sólido limitado acima pelo plano e abaixo pela região no plano entre as curvas e o eixo .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular o volume de um sólido que está limitado acima por um plano dado pela equação e abaixo por uma região no plano definida pelas curvas , e o eixo . Para resolver isso, vamos usar o cálculo de integrais duplas, que é uma ferramenta poderosa para encontrar volumes de sólidos definidos por superfícies.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a região no plano sobre a qual vamos integrar. Temos três curvas:
O eixo , que é
Vamos encontrar os pontos de intersecção dessas curvas para determinar os limites de integração.
Passo 3
Vamos igualar as duas primeiras equações para encontrar os valores de onde as curvas se cruzam:
Subtraindo de ambos os lados, temos:
Então,
Agora, encontramos o valor de correspondente substituindo em uma das equações:
Então, as curvas se cruzam em .
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites de integração para e . Observando as curvas e o eixo , vemos que varia de 0 a 1 (já que estamos considerando do eixo até o ponto de interseção em ).
Para cada nesse intervalo, varia de 0 (o eixo ) até a curva superior .
Passo 5
Com os limites definidos, podemos montar a integral dupla para o volume :
Passo 6
Vamos resolver a integral interna primeiro, integrando em relação a :
Integrando termo a termo:
Substituindo os limites:
Passo 7
Simplificando a expressão:
Passo 8
Agora, integremos essa expressão em relação a de 0 a 1: