Determine o volume do sólido limitado acima pelo plano e abaixo pela região no plano entre as curvas e o eixo .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular o volume de um sólido que está limitado acima por um plano dado pela equação e abaixo por uma região no plano definida pelas curvas , e o eixo . Para resolver isso, vamos usar o cálculo de integrais duplas, que é uma ferramenta poderosa para encontrar volumes de sólidos definidos por superfícies.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a região no plano sobre a qual vamos integrar. Temos três curvas:
  1. O eixo , que é
Vamos encontrar os pontos de intersecção dessas curvas para determinar os limites de integração.

Passo 3

Vamos igualar as duas primeiras equações para encontrar os valores de onde as curvas se cruzam:
Subtraindo de ambos os lados, temos:
Então,
Agora, encontramos o valor de correspondente substituindo em uma das equações:
Então, as curvas se cruzam em .

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração para e . Observando as curvas e o eixo , vemos que varia de 0 a 1 (já que estamos considerando do eixo até o ponto de interseção em ).
Para cada nesse intervalo, varia de 0 (o eixo ) até a curva superior .

Passo 5

Com os limites definidos, podemos montar a integral dupla para o volume :

Passo 6

Vamos resolver a integral interna primeiro, integrando em relação a :
Integrando termo a termo:
Substituindo os limites:

Passo 7

Simplificando a expressão:

Passo 8

Agora, integremos essa expressão em relação a de 0 a 1:
Integrando termo a termo:
Substituindo os limites:
Convertendo para frações com denominador 10:

Resposta

O volume do sólido é de 43,9 unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

a) Seja uma região de . Use a definição de integral dupla para explicar porque é a área de .
Calcule as integrais abaixo:
Seja a região em com que é limitada por e a reta . Determine o valor de .
Considere a integral
b) Esboce a região de integração.