Considere que a intensidade do campo magnético gerado por uma corrente elétrica que percorre um cabo coaxial cilíndrico é dada por,
Considerando as informações acima, e k constantes positivas, sabendo que o campo magnético é circular ao fio, considerando o sistema de coordenadas polares e que o campo magnético flua através de uma superfície gaussiana circular de raio unitário calcule a força eletromotriz através da lei de Faraday.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um campo magnético circular ao redor de um fio, dado pela expressão:
Nosso objetivo é calcular a força eletromotriz (fem) utilizando a Lei de Faraday. Para isso, precisamos entender os conceitos de fluxo magnético e como a variação desse fluxo no tempo gera uma fem.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Lei de Faraday, que relaciona a fem induzida ( ) com a variação do fluxo magnético ( ) através de uma superfície:
O sinal negativo indica que a fem induzida age de forma a contrariar a variação do fluxo, conforme a Lei de Lenz.

Passo 3

Agora, precisamos calcular o fluxo magnético ( ) através da superfície gaussiana circular de raio unitário. O fluxo é dado por:
Como o campo magnético é tangencial à superfície circular e o vetor área é radial (perpendicular à superfície), o produto escalar será zero. Isso ocorre porque os vetores são perpendiculares entre si.

Passo 4

No entanto, para calcular a fem induzida corretamente, devemos considerar que, mesmo que o fluxo direto seja zero, pode haver variação do campo magnético ao longo do tempo que contribui para a fem. Assim, devemos derivar o campo magnético em relação ao tempo.
Considerando a parte do campo que varia no tempo:
A derivada temporal de é:

Passo 5

Agora, para encontrar a fem, integramos a derivada do campo sobre a área da superfície:
Como a área da superfície é , temos:

Passo 6

Substituindo a expressão da derivada:
Simplificando os sinais:

Resposta

A força eletromotriz induzida é dada por:

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