Considere a 2^a lei de Newton para o caso do movimento vertical sujeito apenas à força peso:
m d^2/dt^2 y(t) = -m g
com as seguintes condições iniciais y(0) = y0 e y'(0) = v0. Encontre y(t) utilizando o método da transformada de Laplace 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que descreve o movimento vertical de um objeto sob a força da gravidade. A equação que temos é:
Aqui, m é a massa do objeto, g é a aceleração da gravidade, e y(t) é a posição vertical em função do tempo t. Queremos encontrar y(t) usando a transformada de Laplace. Para isso, vamos precisar saber como aplicar a transformada de Laplace em equações diferenciais e usar as condições iniciais fornecidas: e .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo ambos os lados por m:
Agora, nossa equação diferencial ficou mais simples:
Onde é a segunda derivada de y(t) em relação ao tempo.

Passo 3

Para resolver essa equação usando a transformada de Laplace, vamos aplicar a transformada nos dois lados da equação. Lembrando que a transformada de Laplace de uma derivada é dada por:
Onde é a transformada de Laplace de y(t).

Passo 4

Aplicando a transformada de Laplace na equação , temos:
Sabemos que a transformada de uma constante k é . Portanto:

Passo 5

Substituindo as transformadas na equação, ficamos com:
Agora, vamos resolver para :

Passo 6

Vamos separar os termos:
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos aplicar a transformada inversa de Laplace para encontrar y(t). Sabemos que:
Aplicando isso em cada termo:

Resposta

A posição em função do tempo é:

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