Considere a lei de Newton para o caso do movimento vertical sujeito apenas à força peso:
com as seguintes condições iniciais e . Encontre utilizando o método da transformada de Laplace

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que descreve o movimento vertical de um objeto sob a força da gravidade. A equação que temos é:
Aqui, é a massa do objeto, é a aceleração da gravidade, e é a posição vertical em função do tempo . Queremos encontrar usando a transformada de Laplace. Para isso, vamos precisar saber como aplicar a transformada de Laplace em equações diferenciais e usar as condições iniciais fornecidas: e .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo ambos os lados por :
Agora, nossa equação diferencial ficou mais simples:
Onde é a segunda derivada de em relação ao tempo.

Passo 3

Para resolver essa equação usando a transformada de Laplace, vamos aplicar a transformada nos dois lados da equação. Lembrando que a transformada de Laplace de uma derivada é dada por:
Onde é a transformada de Laplace de .

Passo 4

Aplicando a transformada de Laplace na equação , temos:
Sabemos que a transformada de uma constante é . Portanto:

Passo 5

Substituindo as transformadas na equação, ficamos com:
Agora, vamos resolver para :

Passo 6

Vamos separar os termos:
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos aplicar a transformada inversa de Laplace para encontrar . Sabemos que:
Aplicando isso em cada termo:

Resposta

A posição em função do tempo é:

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