Considere a
lei de Newton para o caso do movimento vertical sujeito apenas à força peso:
com as seguintes condições iniciais
e
. Encontre
utilizando o método da transformada de Laplace
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que descreve o movimento vertical de um objeto sob a força da gravidade. A equação que temos é:
Aqui,
é a massa do objeto,
é a aceleração da gravidade, e
é a posição vertical em função do tempo
. Queremos encontrar
usando a transformada de Laplace. Para isso, vamos precisar saber como aplicar a transformada de Laplace em equações diferenciais e usar as condições iniciais fornecidas:
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo ambos os lados por
:
Agora, nossa equação diferencial ficou mais simples:
Onde
é a segunda derivada de
em relação ao tempo.
Passo 3
Para resolver essa equação usando a transformada de Laplace, vamos aplicar a transformada nos dois lados da equação. Lembrando que a transformada de Laplace de uma derivada é dada por:
Onde
é a transformada de Laplace de
.
Passo 4
Aplicando a transformada de Laplace na equação
, temos:
Sabemos que a transformada de uma constante
é
. Portanto:
Passo 5
Substituindo as transformadas na equação, ficamos com:
Agora, vamos resolver para
:
Passo 6
Vamos separar os termos:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos aplicar a transformada inversa de Laplace para encontrar
. Sabemos que:
Aplicando isso em cada termo:
Resposta
A posição em função do tempo é:
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Se as condições iniciais são
e
, use transformada de Laplace para resolver a EDO e obter
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