Calcular as integrais seguintes usando o método da substituição.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que pede pra gente calcular usando o método da substituição. Isso envolve um pouco de cálculo, especificamente integração, e vamos precisar entender como a substituição pode simplificar a integral para facilitar nossa vida.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o que está dentro da integral. Sabemos que pode ser simplificado usando propriedades dos logaritmos. Lembrando que , temos:
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos usar o método da substituição. A ideia aqui é escolher uma parte da integral para chamar de uma nova variável, simplificando a integral. Observando , vamos defini-la como nossa substituição:
Então, precisamos achar . Derivando em relação a :
Isso significa que .

Passo 4

Substituindo e na integral original:
Agora, a integral está muito mais simples!

Passo 5

Integrando em relação a :

Passo 6

Agora, vamos voltar para a variável original , substituindo :

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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