Se as condições iniciais são x(0) = x0 e x'(0) = v0, use transformada de Laplace para resolver a EDO e obter
x(t) = x0 cos(ω0 t) + v0/ω0 sin(ω0 t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de equações diferenciais ordinárias (EDO) usando a Transformada de Laplace. As condições iniciais são e . Nosso objetivo é resolver a EDO e encontrar a função que descreve o movimento, que no final deve ficar assim:
Vamos precisar usar as propriedades da Transformada de Laplace e resolver a EDO passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a equação diferencial que estamos resolvendo. Geralmente, a EDO desse tipo é:
Aqui, é a segunda derivada de em relação ao tempo, e é uma constante.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. A Transformada de Laplace de é:
E a Transformada de Laplace de é:
Então, aplicando na EDO:

Passo 4

Vamos agora resolver para . Primeiro, vamos juntar os termos com :
Agora, isolamos :

Passo 5

Agora, precisamos fazer a Transformada Inversa de Laplace para encontrar . A gente separa a fração:
Sabemos que:
e

Passo 6

Aplicando a Transformada Inversa em cada termo:
Simplificando, temos:

Resposta

A solução da EDO é

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