Se as condições iniciais são
e
, use transformada de Laplace para resolver a EDO e obter
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de equações diferenciais ordinárias (EDO) usando a Transformada de Laplace. As condições iniciais são
e
. Nosso objetivo é resolver a EDO e encontrar a função
que descreve o movimento, que no final deve ficar assim:
Vamos precisar usar as propriedades da Transformada de Laplace e resolver a EDO passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a equação diferencial que estamos resolvendo. Geralmente, a EDO desse tipo é:
Aqui,
é a segunda derivada de
em relação ao tempo, e
é uma constante.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. A Transformada de Laplace de
é:
E a Transformada de Laplace de
é:
Então, aplicando na EDO:
Passo 4
Vamos agora resolver para
. Primeiro, vamos juntar os termos com
:
Agora, isolamos
:
Passo 5
Agora, precisamos fazer a Transformada Inversa de Laplace para encontrar
. A gente separa a fração:
Sabemos que:
e
Passo 6
Aplicando a Transformada Inversa em cada termo:
Simplificando, temos:
Resposta
A solução da EDO é