Considere a lista a seguir de equações diferenciais, identifique os pontos críticos e esboce os campos de direção de cada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação diferencial para analisar: . Nosso objetivo é identificar os pontos críticos dessa equação e esboçar o campo de direção correspondente. Isso envolve entender onde a derivada é zero (pontos críticos) e como as soluções se comportam em torno desses pontos no gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos. Ponto crítico ocorre quando a derivada iguala a zero, ou seja, onde a função não está nem subindo nem descendo.

Passo 3

Vamos igualar a equação a zero para encontrar esses pontos:
Resolvendo para :
Então, temos um ponto crítico em .

Passo 4

Agora, vamos entender o campo de direção. O campo de direção mostra as inclinações das soluções para diferentes valores de .
  • Quando :
    Isso significa que a função está aumentando nesse intervalo.
  • Quando :
    Nesse caso, a função está diminuindo.
  • No ponto crítico :
    Aqui, a função permanece constante, ou seja, é uma solução estacionária.

Resposta

O ponto crítico da equação diferencial é . No campo de direção, as soluções aumentam quando , diminuem quando e permanecem constantes exatamente em .

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— Questão 20. Sejam e , respectivamente, a área da região
e o volume do solido gerado pela rotação da região em torno do eixo , Determine:
(b) . Este sólido e conhecido como trom-
Use notação de intervalo para escrever o intervalo dos números reais.
Calcular o limite de
quando tende a 0 .
Encontre o domínio e o conjunto imagem das seguintes funções: