Considere a lista a seguir de equações diferenciais, identifique os pontos críticos e esboce os campos de direção de cada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação diferencial para analisar:
. Nosso objetivo é identificar os pontos críticos dessa equação e esboçar o campo de direção correspondente. Isso envolve entender onde a derivada
é zero (pontos críticos) e como as soluções se comportam em torno desses pontos no gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos. Ponto crítico ocorre quando a derivada
iguala a zero, ou seja, onde a função não está nem subindo nem descendo.
Passo 3
Vamos igualar a equação a zero para encontrar esses pontos:
Resolvendo para
:
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 4
Agora, vamos entender o campo de direção. O campo de direção mostra as inclinações das soluções para diferentes valores de
.
-
Quando
: Isso significa que a função está aumentando nesse intervalo. -
Quando
: Nesse caso, a função está diminuindo. -
No ponto crítico
: Aqui, a função permanece constante, ou seja, é uma solução estacionária.
Resposta
O ponto crítico da equação diferencial
é
. No campo de direção, as soluções aumentam quando
, diminuem quando
e permanecem constantes exatamente em
.