Encontre o domínio e o conjunto imagem das seguintes funções:

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o domínio e o conjunto imagem da função . Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam as raízes quadradas e quais valores de e fazem a função valer alguma coisa sem dar erro.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o domínio da função, ou seja, todos os valores de e que deixam a função bem definida.
  1. Dentro da raiz do numerador ( ):
    • O que está dentro da raiz precisa ser maior ou igual a zero para ter uma raiz real.
    • Então, temos:
    • Isso significa que deve ser menor ou igual a 4.
  2. Dentro da raiz do denominador ( ):
    • Além de precisar ser maior ou igual a zero, como está no denominador, não pode ser zero (porque divisão por zero dá indefinido).
    • Então, temos:
    • Isso significa que deve ser maior que 2.
Então, o domínio da função é todos os pares tais que:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o conjunto imagem da função, ou seja, todos os possíveis valores que pode assumir.
  1. Analisando a função:
    • Tanto a raiz no numerador quanto a raiz no denominador são não negativas (maiores ou iguais a zero).
    • Como , a raiz no denominador é sempre positiva.
    • Portanto, a divisão de duas quantidades não negativas resulta em um valor não negativo.
    • Além disso, como o denominador nunca é zero, nunca será zero.
  2. Conclusão:
    • Assim, sempre será maior que zero.
    • E não há limite superior para , já que pode se aproximar de , fazendo o numerador crescer sem limites.
Então, o conjunto imagem da função é:

Resposta

  • Domínio: e .
  • Conjunto Imagem: .

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