Encontre o domínio e o conjunto imagem das seguintes funções:
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o domínio e o conjunto imagem da função
. Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam as raízes quadradas e quais valores de
e
fazem a função valer alguma coisa sem dar erro.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o domínio da função, ou seja, todos os valores de
e
que deixam a função bem definida.
-
Dentro da raiz do numerador (
): - O que está dentro da raiz precisa ser maior ou igual a zero para ter uma raiz real.
- Então, temos:
- Isso significa que
deve ser menor ou igual a 4.
-
Dentro da raiz do denominador (
): - Além de precisar ser maior ou igual a zero, como está no denominador, não pode ser zero (porque divisão por zero dá indefinido).
- Então, temos:
- Isso significa que
deve ser maior que 2.
Então, o domínio da função é todos os pares
tais que:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o conjunto imagem da função, ou seja, todos os possíveis valores que
pode assumir.
-
Analisando a função:
- Tanto a raiz no numerador quanto a raiz no denominador são não negativas (maiores ou iguais a zero).
- Como
, a raiz no denominador é sempre positiva. - Portanto, a divisão de duas quantidades não negativas resulta em um valor não negativo.
- Além disso, como o denominador nunca é zero,
nunca será zero.
-
Conclusão:
- Assim,
sempre será maior que zero. - E não há limite superior para
, já que pode se aproximar de , fazendo o numerador crescer sem limites.
- Assim,
Então, o conjunto imagem da função é:
Resposta
- Domínio:
e . - Conjunto Imagem:
.
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quando
tende a 0 .
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pode ser colocado na forma
.