— Questão 20. Sejam e , respectivamente, a área da região
e o volume do solido gerado pela rotação da região em torno do eixo , Determine:
(b) . Este sólido e conhecido como trom-

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma região definida por e . A matéria aqui é Cálculo, mais especificamente cálculo integral e volumes de sólidos de rotação. Vamos precisar usar o método dos discos para encontrar o volume desse sólido quando a região é girada em torno do eixo .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o volume usando o método dos discos. Esse método envolve integrar a área de círculos infinitamente pequenos (discos) que compõem o sólido.
A fórmula geral para o volume usando o método dos discos é:
onde é a função que define a borda superior da região, no caso .

Passo 3

Substituindo na fórmula, temos:
Agora, vamos resolver essa integral.

Passo 4

A integral de em relação a é:
onde é a constante de integração. Vamos aplicar os limites de integração de 1 a .

Passo 5

Aplicando os limites na antiderivada, temos:

Passo 6

Agora, queremos encontrar o limite de quando tende ao infinito:
À medida que fica muito grande, se aproxima de 0. Então, temos:

Resposta

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Calcular o limite de
quando tende a 0 .