— Questão 20. Sejam
e
, respectivamente, a área da região
e o volume do solido gerado pela rotação da região
em torno do eixo
, Determine:
(b)
. Este sólido e conhecido como trom-
(b)
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma região
definida por
e
. A matéria aqui é Cálculo, mais especificamente cálculo integral e volumes de sólidos de rotação. Vamos precisar usar o método dos discos para encontrar o volume
desse sólido quando a região
é girada em torno do eixo
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o volume
usando o método dos discos. Esse método envolve integrar a área de círculos infinitamente pequenos (discos) que compõem o sólido.
A fórmula geral para o volume usando o método dos discos é:
onde
é a função que define a borda superior da região, no caso
.
Passo 3
Substituindo
na fórmula, temos:
Agora, vamos resolver essa integral.
Passo 4
A integral de
em relação a
é:
onde
é a constante de integração. Vamos aplicar os limites de integração de 1 a
.
Passo 5
Aplicando os limites na antiderivada, temos:
Passo 6
Agora, queremos encontrar o limite de
quando
tende ao infinito:
À medida que
fica muito grande,
se aproxima de 0. Então, temos: