— Questão 20. Sejam R(a) e V(a), respectivamente, a área da região
R=(x, y): 1 <= x <= a e 0 <= y <= 1x
e o volume do solido gerado pela rotação da região R em torno do eixo x, Determine:
(b) lim a infty V(a). Este sólido e conhecido como trom-

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma região definida por e . A matéria aqui é Cálculo, mais especificamente cálculo integral e volumes de sólidos de rotação. Vamos precisar usar o método dos discos para encontrar o volume desse sólido quando a região é girada em torno do eixo .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o volume V(a) = pi integral1^a [f(x)]^2 , dx usando o método dos discos. Esse método envolve integrar a área de círculos infinitamente pequenos (discos) que compõem o sólido.
A fórmula geral para o volume usando o método dos discos é:
onde é a função que define a borda superior da região, no caso .

Passo 3

Substituindo V(a) = pi integral1^a ( 1x )^2 , dx = pi integral1^a 1x^2 , dx na fórmula, temos:
Agora, vamos resolver essa integral.

Passo 4

A integral de integral 1x^2 , dx = -1x + C em relação a é:
onde é a constante de integração. Vamos aplicar os limites de integração de 1 a .

Passo 5

Aplicando os limites na antiderivada, temos:
V(a) = pi [ -1x ]1^a = pi ( -1a - ( -11 ) ) = pi ( 1 - 1a )

Passo 6

Agora, queremos encontrar o limite de lima infty V(a) = lima infty pi ( 1 - 1a ) quando lima infty V(a) = pi (1 - 0) = pi tende ao infinito:
À medida que fica muito grande, se aproxima de 0. Então, temos:

Resposta

lima infty V(a) = pi

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