Seja uma variável aleatória
com distribuição Bernoulli, prove que se
Bernoulli§, então
provar utilizando
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para provar que a variância de uma variável aleatória
que segue uma distribuição Bernoulli com parâmetro
é igual a
. Para isso, vamos utilizar a função geradora de momentos
. Então, precisamos lembrar como funciona a distribuição Bernoulli, o que é a variância e como usar a função geradora de momentos para encontrar a variância.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma variável aleatória
com distribuição Bernoulli assume apenas dois valores: 1 com probabilidade
e 0 com probabilidade
. Ou seja,
Isso já nos dá uma ideia dos possíveis resultados de
.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre a função geradora de momentos
. Essa função é definida como:
onde
representa o valor esperado. A função geradora de momentos é útil porque, derivando-a e avaliando em
, conseguimos obter o valor esperado e a variância da variável aleatória.
Passo 4
Vamos calcular
para nossa variável Bernoulli. Sabemos que
pode ser 0 ou 1, então:
Passo 5
Para encontrar a variância
, precisamos primeiro encontrar o valor esperado
e
. A variância é dada por:
Vamos calcular
e
usando a função geradora de momentos.
Passo 6
Primeiro, encontramos
derivando
e avaliando em
:
Passo 7
Agora, vamos encontrar
derivando
duas vezes e avaliando em
:
Note que, para uma variável Bernoulli,
, já que
só pode ser 0 ou 1.
Passo 8
Agora que temos
e
, podemos calcular a variância:
Resposta
A variância de uma variável aleatória
que segue uma distribuição Bernoulli com parâmetro
é
.