Seja uma variável aleatória X com distribuição Bernoulli, prove que se X sim Bernoulli§, então
Var(X)=p(1-p)( provar utilizando MX(t)).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para provar que a variância de uma variável aleatória que segue uma distribuição Bernoulli com parâmetro é igual a . Para isso, vamos utilizar a função geradora de momentos . Então, precisamos lembrar como funciona a distribuição Bernoulli, o que é a variância e como usar a função geradora de momentos para encontrar a variância.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma variável aleatória P(X=1) = p e P(X=0) = 1-p com distribuição Bernoulli assume apenas dois valores: 1 com probabilidade e 0 com probabilidade . Ou seja,
Isso já nos dá uma ideia dos possíveis resultados de .

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a função geradora de momentos MX(t) = E[e^tX], . Essa função é definida como:
onde representa o valor esperado. A função geradora de momentos é útil porque, derivando-a e avaliando em , conseguimos obter o valor esperado e a variância da variável aleatória.

Passo 4

Vamos calcular MX(t) = E[e^tX] = e^t cdot 0 cdot (1 - p) + e^t cdot 1 cdot p = (1 - p) + p e^t para nossa variável Bernoulli. Sabemos que pode ser 0 ou 1, então:

Passo 5

Para encontrar a variância Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 , precisamos primeiro encontrar o valor esperado e . A variância é dada por:
Vamos calcular e usando a função geradora de momentos.

Passo 6

Primeiro, encontramos M'X(t) = ddt ( (1 - p) + p e^t ) = p e^t, derivando E[X] = M'X(0) = p e^0 = p e avaliando em :

Passo 7

Agora, vamos encontrar M''X(t) = d^2dt^2 ( (1 - p) + p e^t ) = p e^t, derivando E[X^2] = M''X(0) = p e^0 = p duas vezes e avaliando em :
Note que, para uma variável Bernoulli, , já que só pode ser 0 ou 1.

Passo 8

Agora que temos Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = p - p^2 = p(1 - p) e , podemos calcular a variância:

Resposta

A variância de uma variável aleatória que segue uma distribuição Bernoulli com parâmetro é .

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