Considere
. Determine os pontos de fronteira de
considerando a métrica
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem o conjunto
e
. A nossa missão é descobrir quais são os pontos de fronteira de
considerando a métrica
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre métrica e pontos de fronteira.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um ponto de fronteira. Em topologia, um ponto de fronteira de um conjunto
é aquele onde qualquer “vicinhança” desse ponto (um pequeno espaço ao redor) tanto toca
quanto o complemento de
(tudo que não está em
). Ou seja, você sempre vai encontrar pontos de
e pontos que não estão em
perto desse ponto de fronteira.
Passo 3
Agora, vamos dar uma olhada na métrica
. Essa métrica é interessante porque ela trata o intervalo
como se fosse um círculo. Pense nisso como se as extremidades 0 e 1 fossem conectadas, formando uma espécie de “anel”. Isso significa que a distância entre dois pontos pode ser medida no sentido direto ou no sentido “contra-lógiro” do círculo, pegando o menor valor entre as duas possibilidades.
Passo 4
Com essa métrica em mente, vamos analisar o conjunto
. No sentido usual da linha real, esse conjunto começa em
e vai até, mas não inclui, 1. Porém, devido à métrica circular que estamos usando, o ponto 1 está “junto” do ponto 0. Então,
fica meio que dividindo o círculo em duas partes: de
até 1 (que é como 0) e de 0 até
.
Passo 5
Para encontrar os pontos de fronteira de
, precisamos identificar quais pontos estão na “borda” onde
e seu complemento se encontram. Observamos que:
-
Ponto
: É o começo de e qualquer pequena “vizinhança” ao redor dele vai ter pontos que estão dentro de e também pontos que não estão. -
Ponto
: Considerando a métrica circular, é o mesmo que . Mesmo que não esteja incluído em , próximo de (ou ) temos pontos que estão em e pontos que não estão.
Resposta
Os pontos de fronteira de
são
e
.