Considere M=[0,1[ X=[1/2,1[. Determine os pontos de fronteira de X considerando a métrica kappa(x, y) = min(|x - y|, 1 - |x - y|).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem o conjunto e . A nossa missão é descobrir quais são os pontos de fronteira de considerando a métrica . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre métrica e pontos de fronteira.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um ponto de fronteira. Em topologia, um ponto de fronteira de um conjunto é aquele onde qualquer “vicinhança” desse ponto (um pequeno espaço ao redor) tanto toca quanto o complemento de (tudo que não está em ). Ou seja, você sempre vai encontrar pontos de e pontos que não estão em perto desse ponto de fronteira.

Passo 3

Agora, vamos dar uma olhada na métrica . Essa métrica é interessante porque ela trata o intervalo como se fosse um círculo. Pense nisso como se as extremidades 0 e 1 fossem conectadas, formando uma espécie de “anel”. Isso significa que a distância entre dois pontos pode ser medida no sentido direto ou no sentido “contra-lógiro” do círculo, pegando o menor valor entre as duas possibilidades.

Passo 4

Com essa métrica em mente, vamos analisar o conjunto . No sentido usual da linha real, esse conjunto começa em e vai até, mas não inclui, 1. Porém, devido à métrica circular que estamos usando, o ponto 1 está “junto” do ponto 0. Então, fica meio que dividindo o círculo em duas partes: de até 1 (que é como 0) e de 0 até .

Passo 5

Para encontrar os pontos de fronteira de , precisamos identificar quais pontos estão na “borda” onde e seu complemento se encontram. Observamos que:
  • Ponto : É o começo de e qualquer pequena “vizinhança” ao redor dele vai ter pontos que estão dentro de e também pontos que não estão.
  • Ponto : Considerando a métrica circular, é o mesmo que . Mesmo que não esteja incluído em , próximo de (ou ) temos pontos que estão em e pontos que não estão.

Resposta

Os pontos de fronteira de são e .

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