Seja F: M -> N uma função contínua e Gamma subset M x N o gráfico de F. Prove que Г é homeomorfo a M.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que o gráfico de uma função contínua , que chamamos de , é homeomorfo a . Isso está dentro do estudo de Topologia, especificamente sobre homeomorfismos e gráficos de funções. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um homeomorfismo, como funcionam os gráficos de funções e como construir uma bijeção contínua com inverso contínuo entre e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um homeomorfismo. Basicamente, é uma função contínua e bijetora entre dois espaços topológicos, cuja inversa também é contínua. Se conseguimos mostrar isso entre e , então e são topologicamente equivalentes, ou seja, são homeomorfos.

Passo 3

Agora, vamos pensar no gráfico da função . O gráfico é o conjunto de todos os pares onde pertence a . Então, . Esse conjunto está dentro do produto cartesiano .

Passo 4

Vamos construir uma função que mapeie cada elemento de para seu correspondente no gráfico . Definimos por . Essa função é chamada de injeção porque cada em mapeia para um par único em .

Passo 5

Precisamos mostrar que é bijetora. Já vimos que é injetora. Para a parte sobrejetora, observe que qualquer elemento de é da forma para algum . Logo, todo ponto de é atingido por algum em , então é sobrejetora.

Passo 6

Agora, vamos verificar a continuidade de . Como é contínua e a projeção é contínua, a função é contínua por ser composta de funções contínuas.

Passo 7

Precisamos também que a inversa de seja contínua. A função inversa simplesmente projeta o primeiro elemento do par, ou seja, . A projeção é contínua, então é contínua.

Resposta

Portanto, a função definida por é um homeomorfismo. Assim, é homeomorfo a .

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