Seja
uma função contínua e
o gráfico de
. Prove que Г é homeomorfo a
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que o gráfico de uma função contínua
, que chamamos de
, é homeomorfo a
. Isso está dentro do estudo de Topologia, especificamente sobre homeomorfismos e gráficos de funções. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um homeomorfismo, como funcionam os gráficos de funções e como construir uma bijeção contínua com inverso contínuo entre
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um homeomorfismo. Basicamente, é uma função contínua e bijetora entre dois espaços topológicos, cuja inversa também é contínua. Se conseguimos mostrar isso entre
e
, então
e
são topologicamente equivalentes, ou seja, são homeomorfos.
Passo 3
Agora, vamos pensar no gráfico da função
. O gráfico
é o conjunto de todos os pares
onde
pertence a
. Então,
. Esse conjunto está dentro do produto cartesiano
.
Passo 4
Vamos construir uma função que mapeie cada elemento de
para seu correspondente no gráfico
. Definimos
por
. Essa função
é chamada de injeção porque cada
em
mapeia para um par único em
.
Passo 5
Precisamos mostrar que
é bijetora. Já vimos que é injetora. Para a parte sobrejetora, observe que qualquer elemento de
é da forma
para algum
. Logo, todo ponto de
é atingido por algum
em
, então
é sobrejetora.
Passo 6
Agora, vamos verificar a continuidade de
. Como
é contínua e a projeção
é contínua, a função
é contínua por ser composta de funções contínuas.
Passo 7
Precisamos também que a inversa de
seja contínua. A função inversa
simplesmente projeta o primeiro elemento do par, ou seja,
. A projeção
é contínua, então
é contínua.
Resposta
Portanto, a função
definida por
é um homeomorfismo. Assim,
é homeomorfo a
.