Determine se os conjuntos seguintes são abertos em
:
.
Passo 1
Vamos ver o que a questão pede: precisamos descobrir se o conjunto
é aberto no espaço
. Para isso, vamos usar conceitos de topologia, especificamente sobre conjuntos abertos em espaços métricos como
.
Passo 2
Antes de mais nada, é importante entender o que é um conjunto aberto. Em
, um conjunto é considerado aberto se, para todo ponto dentro dele, conseguimos traçar um círculo (ou “vizinhança”) pequena suficiente ao redor desse ponto que ainda está completamente dentro do conjunto. Em outras palavras, nenhum ponto da “borda” está incluído.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o conjunto
. Esse conjunto inclui todos os pontos no plano onde a coordenada
é maior que zero. Isso significa que
corresponde à metade superior do plano, excluindo a linha
.
Passo 4
Para verificar se
é aberto, pegamos qualquer ponto
em
, onde
. Queremos mostrar que existe um raio
tal que todos os pontos dentro da distância
de
também estão em
. Podemos escolher
menor que
, por exemplo,
. Assim, qualquer ponto dentro dessa vizinhança terá sua coordenada
ainda maior que zero, garantindo que está dentro de
.
Resposta
Sim, o conjunto
é aberto em
.