Determine se os conjuntos seguintes são abertos em R^2 : T = {(x, y) em R^2 | y > 0}.

Passo 1

Vamos ver o que a questão pede: precisamos descobrir se o conjunto é aberto no espaço . Para isso, vamos usar conceitos de topologia, especificamente sobre conjuntos abertos em espaços métricos como .

Passo 2

Antes de mais nada, é importante entender o que é um conjunto aberto. Em , um conjunto é considerado aberto se, para todo ponto dentro dele, conseguimos traçar um círculo (ou “vizinhança”) pequena suficiente ao redor desse ponto que ainda está completamente dentro do conjunto. Em outras palavras, nenhum ponto da “borda” está incluído.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o conjunto . Esse conjunto inclui todos os pontos no plano onde a coordenada é maior que zero. Isso significa que corresponde à metade superior do plano, excluindo a linha .

Passo 4

Para verificar se é aberto, pegamos qualquer ponto em , onde . Queremos mostrar que existe um raio tal que todos os pontos dentro da distância de também estão em . Podemos escolher menor que , por exemplo, . Assim, qualquer ponto dentro dessa vizinhança terá sua coordenada ainda maior que zero, garantindo que está dentro de .

Resposta

Sim, o conjunto é aberto em .

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