Prove que se M é homeomorfo a M' e N é homeomorfo a N', então M x N é homeomorfo a M' * N'.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que se é homeomorfo a e é homeomorfo a , então o produto é homeomorfo a . A gente vai usar conceitos de topologia, especificamente o de homeomorfismo e produto topológico. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um homeomorfismo e como funcionam os produtos de espaços topológicos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um homeomorfismo. É uma função contínua entre dois espaços topológicos que tem uma função inversa contínua . Basicamente, dois espaços são homeomorfos se um pode ser “deformado” no outro sem cortes ou colagens, mantendo a estrutura topológica.

Passo 3

Agora, como estamos lidando com produtos de espaços, precisamos entender o que é o produto topológico . Esse é o conjunto de todos os pares ordenados onde e , com uma topologia que basicamente considera a “combinação” das topologias de e .

Passo 4

Sabendo disso, como podemos usar os homeomorfismos e para construir um homeomorfismo entre e ? A ideia é criar uma função que aplica em cada componente de e em cada componente de .

Passo 5

Vamos definir essa função da seguinte forma:
Isso significa que, para cada par em , a função aplica em e em , produzindo um par em .

Passo 6

Precisamos mostrar que é um homeomorfismo. Primeiro, é contínua porque e são contínuas e a topologia do produto garante que funções aplicando componentes separadamente sejam contínuas.

Passo 7

Segundo, a inversa de , que chamaremos de , pode ser definida como:
Como e têm inversas contínuas, também é contínua.

Passo 8

Como é uma função contínua com inversa contínua, de acordo com a definição de homeomorfismo, isso significa que é homeomorfo a .

Resposta

Portanto, mostramos que é homeomorfo a através da função .

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