Prove que se M é homeomorfo a
e N é homeomorfo a
, então
é homeomorfo a
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que se
é homeomorfo a
e
é homeomorfo a
, então o produto
é homeomorfo a
. A gente vai usar conceitos de topologia, especificamente o de homeomorfismo e produto topológico. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um homeomorfismo e como funcionam os produtos de espaços topológicos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um homeomorfismo. É uma função contínua
entre dois espaços topológicos que tem uma função inversa contínua
. Basicamente, dois espaços são homeomorfos se um pode ser “deformado” no outro sem cortes ou colagens, mantendo a estrutura topológica.
Passo 3
Agora, como estamos lidando com produtos de espaços, precisamos entender o que é o produto topológico
. Esse é o conjunto de todos os pares ordenados
onde
e
, com uma topologia que basicamente considera a “combinação” das topologias de
e
.
Passo 4
Sabendo disso, como podemos usar os homeomorfismos
e
para construir um homeomorfismo entre
e
? A ideia é criar uma função
que aplica
em cada componente de
e
em cada componente de
.
Passo 5
Vamos definir essa função
da seguinte forma:
Isso significa que, para cada par
em
, a função
aplica
em
e
em
, produzindo um par em
.
Passo 6
Precisamos mostrar que
é um homeomorfismo. Primeiro,
é contínua porque
e
são contínuas e a topologia do produto garante que funções aplicando componentes separadamente sejam contínuas.
Passo 7
Segundo, a inversa de
, que chamaremos de
, pode ser definida como:
Como
e
têm inversas contínuas,
também é contínua.
Passo 8
Como
é uma função contínua com inversa contínua, de acordo com a definição de homeomorfismo, isso significa que
é homeomorfo a
.
Resposta
Portanto, mostramos que
é homeomorfo a
através da função
.