Considere uma máquina que apresenta, em média, uma peça com defeito a cada 100 peças fabricadas. Qual a probabilidade de em um lote de 200 peças fabricadas por essa máquina apresentar:
b) uma peça defeituosa? R.: 27,07 %

Passo 1

Vamos lá! A gente tem uma máquina que, em média, fabrica uma peça defeituosa a cada 100 peças. A pergunta é: qual a probabilidade de, em um lote de 200 peças, encontrar exatamente uma peça defeituosa? Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade binomial, que nos ajuda a calcular a chance de um certo número de sucessos em uma série de experimentos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os parâmetros que vamos usar:
  • n: número de tentativas, que no caso é 200 peças.
  • p: probabilidade de sucesso em cada tentativa, ou seja, a probabilidade de uma peça ser defeituosa. Aqui, é 1 em 100, ou seja, p = 0,01.
  • k: número de sucessos que queremos, que é 1 peça defeituosa.

Passo 3

A fórmula da probabilidade binomial é:
P(X = k) = C(n, k) times p^k times (1 - p)^n - k
Onde:
  • C(n, k) é o coeficiente binomial, que calcula de quantas formas podemos escolher k sucessos em n tentativas. É calculado por:
C(n, k) = n!k! times (n - k)!

Passo 4

Vamos calcular cada parte da fórmula:
  1. Coeficiente binomial:
C(200, 1) = 200!1! times (200 - 1)! = 200
Isso porque escolher 1 peça defeituosa em 200 pode ser feito de 200 maneiras diferentes.
  1. Probabilidade de uma peça ser defeituosa:
p^k = 0,01^1 = 0,01
  1. Probabilidade de as demais peças não serem defeituosas:
(1 - p)^n - k = 0,99^199

Passo 5

Agora, juntando tudo:
P(X = 1) = 200 times 0,01 times 0,99^199
Vamos calcular isso passo a passo.

Passo 6

Primeiro, calculamos 0,99^199. Isso dá aproximadamente 0,1353.
Então:
P(X = 1) = 200 times 0,01 times 0,1353 = 200 times 0,001353 = 0,2706

Resposta

A probabilidade de encontrar exatamente uma peça defeituosa em um lote de 200 peças é de aproximadamente 27,07 %.

Exercícios relacionados