x 1 2 4 4 5
y 7 8 3 2 2
Dados: sum x=16, sum y=22, sum x^2=62, sum y^2=130 e sum x y=53.
Você diria que a variável X pode ser usada para explicar a variação de Y? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me deu uma tabela com alguns valores de X e Y, e também algumas somas que a gente vai precisar. Nosso objetivo aqui é descobrir se X pode explicar as variações em Y. Para isso, vamos usar um lance chamado coeficiente de correlação, que mostra o quão relacionadas essas duas variáveis estão. Se a correlação for forte, significa que X consegue explicar bem Y. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média de X e a média de Y. A média é só somar todos os valores e dividir pela quantidade de elementos.
  • Média de X ( barX):
    barX = sum xn = 165 = 3,2
  • Média de Y ( barY):
    barY = sum yn = 225 = 4,4
Isso nos dá uma ideia de onde os dados estão, em média.

Passo 3

Agora, vamos calcular o coeficiente de correlação de Pearson ®, que vai nos dizer quão forte é a relação entre X e Y. A fórmula é a seguinte:
r = n sum xy - (sum x)(sum y)raiz[n sum x^2 - (sum x)^2][n sum y^2 - (sum y)^2]
Vamos substituir os valores que temos:
  • Numerador:
    n sum xy - (sum x)(sum y) = 5 times 53 - 16 times 22 = 265 - 352 = -87
  • Denominador:
    raiz[5 times 62 - 16^2][5 times 130 - 22^2] = raiz[310 - 256][650 - 484] = raiz54 times 166 = raiz8964 approx 94,7
Então,
r = -8794,7 approx -0,918

Passo 4

Com o valor de r calculado, que é aproximadamente -0,918, vamos interpretar o que isso significa:
  • O valor de r varia entre -1 e 1.
  • -1 indica uma correlação negativa perfeita, 0 nenhuma correlação e 1 uma correlação positiva perfeita.
  • No nosso caso, -0,918 é bem próximo de -1, o que indica uma correlação negativa muito forte entre X e Y.
Isso significa que, conforme X aumenta, Y tende a diminuir de maneira consistente.

Passo 5

Além disso, podemos calcular o coeficiente de determinação (R²), que nos diz a porcentagem da variação em Y que é explicada por X. Basta elevar o valor de r ao quadrado:
R^2 = (-0,918)^2 approx 0,843 ou 84,3%
Isso quer dizer que aproximadamente 84,3% da variação em Y pode ser explicada pelas variações em X. É uma porcentagem bem alta!

Resposta

Sim, a variável X pode ser usada para explicar a variação de Y, já que o coeficiente de correlação é aproximadamente -0,918, indicando uma relação negativa muito forte, e cerca de 84,3% da variação em Y é explicada por X.

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