Uma prova tipo teste tem 50 questões independentes. Cada questão tem 5 alternativas. Apenas uma das alternativas é a correta. Se um aluno resolve a prova respondendo a esmo as questões, qual a probabilidade de tirar nota 5 ? Obs.: pontuação máxima =>10 R.: 0,0002 %

Passo 1

Vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos uma prova com 50 questões, cada uma com 5 alternativas, mas só uma está correta em cada questão. Um aluno decide responder todas as questões aleatoriamente, ou seja, completamente por sorte. Queremos descobrir qual é a probabilidade dele tirar nota 5 nessa prova.
Para resolver isso, vamos usar a probabilidade binomial, que é ótima para calcular a chance de um certo número de “acertos” ocorrer em um número fixo de tentativas, quando cada tentativa tem a mesma probabilidade de sucesso.

Passo 2

Primeiro, precisamos determinar quantos acertos correspondem à nota 5. Sabemos que a pontuação máxima da prova é 10 pontos. Se o aluno acertasse todas as 50 questões, ele teria 10 pontos. Então, cada acerto vale:
Valor de cada acerto = 10 pontos50 questões = 0,2 pontos por acerto õ
Para tirar nota 5, o aluno precisa acumular:
5 pontos = Número de acertos times 0,2 pontos implies Número de acertos = 50,2 = 25 acertos úú

Passo 3

Agora, vamos aplicar a fórmula da probabilidade binomial para calcular a chance de exatamente 25 acertos em 50 questões. A fórmula é:
P(k) = binomnk times p^k times (1-p)^n-k
Onde:
  • (número total de questões)
  • (número de acertos desejados)
  • (probabilidade de acertar uma questão)
  • porque há 5 alternativas e apenas uma está correta

Passo 4

Vamos calcular cada parte da fórmula:
  1. Coeficiente binomial binom5025 = 50!25! times (50-25)! :
0,2^25
Esse valor representa o número de maneiras diferentes de escolher 25 acertos em 50 questões.
  1. Probabilidade de acertar 25 questões 0,8^25 :
  1. Probabilidade de errar as outras 25 questões :

Passo 5

Vamos calcular cada parte:
  1. Coeficiente binomial:
binom5025 approx 1,26 times 10^14
  1. Probabilidade de 25 acertos:
0,2^25 approx 3,36 times 10^-19
  1. Probabilidade de 25 erros:
0,8^25 approx 2,98 times 10^-3

Passo 6

Agora, multiplicamos todos os valores juntos para encontrar a probabilidade total:
P(25) = 1,26 times 10^14 times 3,36 times 10^-19 times 2,98 times 10^-3 approx 0,0002 %

Resposta

A probabilidade de um aluno tirar nota 5 respondendo todas as questões aleatoriamente é de aproximadamente 0,0002 %.

Exercícios relacionados