Uma prova tipo teste tem 50 questões independentes. Cada questão tem 5 alternativas. Apenas uma das alternativas é a correta. Se um aluno resolve a prova respondendo a esmo as questões, qual a probabilidade de tirar nota 5 ? Obs.: pontuação máxima
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Passo 1
Vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos uma prova com 50 questões, cada uma com 5 alternativas, mas só uma está correta em cada questão. Um aluno decide responder todas as questões aleatoriamente, ou seja, completamente por sorte. Queremos descobrir qual é a probabilidade dele tirar nota 5 nessa prova.
Para resolver isso, vamos usar a probabilidade binomial, que é ótima para calcular a chance de um certo número de “acertos” ocorrer em um número fixo de tentativas, quando cada tentativa tem a mesma probabilidade de sucesso.
Passo 2
Primeiro, precisamos determinar quantos acertos correspondem à nota 5. Sabemos que a pontuação máxima da prova é 10 pontos. Se o aluno acertasse todas as 50 questões, ele teria 10 pontos. Então, cada acerto vale:
Para tirar nota 5, o aluno precisa acumular:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a fórmula da probabilidade binomial para calcular a chance de exatamente 25 acertos em 50 questões. A fórmula é:
Onde:
-
(número total de questões) -
(número de acertos desejados) -
(probabilidade de acertar uma questão) -
porque há 5 alternativas e apenas uma está correta
Passo 4
Vamos calcular cada parte da fórmula:
- Coeficiente binomial
:
Esse valor representa o número de maneiras diferentes de escolher 25 acertos em 50 questões.
- Probabilidade de acertar 25 questões
:
- Probabilidade de errar as outras 25 questões
:
Passo 5
Vamos calcular cada parte:
- Coeficiente binomial:
- Probabilidade de 25 acertos:
- Probabilidade de 25 erros:
Passo 6
Agora, multiplicamos todos os valores juntos para encontrar a probabilidade total:
Resposta
A probabilidade de um aluno tirar nota 5 respondendo todas as questões aleatoriamente é de aproximadamente 0,0002 %.