Considere uma máquina que apresenta, em média, uma peça com defeito a cada 100 peças fabricadas. Qual a probabilidade de em um lote de 200 peças fabricadas por essa máquina apresentar:
c) cinco ou mais peças defeituosas? R.: 5,09 %

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que está pedindo aqui. A gente tem uma máquina que, em média, faz uma peça defeituosa a cada 100 produzidas. Queremos saber qual a probabilidade de, em um lote de 200 peças, terem cinco ou mais defeituosas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade, especificamente a distribuição binomial. Vamos precisar entender como calcular probabilidades para eventos com dois resultados possíveis (como “defeituosa” ou “não defeituosa”) repetidos várias vezes.

Passo 2

Primeiro, vamos definir os parâmetros da nossa distribuição binomial. Temos:
  • n = 200: número total de peças produzidas.
  • p = 0,01: probabilidade de uma peça individual ser defeituosa (1 a cada 100).

Passo 3

Queremos encontrar a probabilidade de ter cinco ou mais peças defeituosas no lote de 200. Matematicamente, isso é representado como P(X ≥ 5), onde X é o número de peças defeituosas.

Passo 4

Para calcular P(X ≥ 5), podemos usar a seguinte relação:
P(X >= 5) = 1 - P(X <= 4)
Então, primeiramente, vamos calcular a probabilidade de ter até quatro peças defeituosas e depois subtrair isso de 1 para encontrar o que queremos.

Passo 5

Agora, vamos calcular P(X ≤ 4). Isso significa somar as probabilidades de ter 0, 1, 2, 3 e 4 peças defeituosas. A fórmula da distribuição binomial para cada k (número de sucessos, ou seja, defeituosas) é:
P(X = k) = binomnk times p^k times (1-p)^n-k
Onde:
  • é o coeficiente binomial, que calcula de quantas formas podemos escolher k peças defeituosas dentre n.

Passo 6

Vamos calcular cada termo individualmente:
  1. Para k = 0:
P(X = 0) = binom2000 times 0,01^0 times 0,99^200 = 1 times 1 times 0,99^200 approx 0,1326
  1. Para k = 1:
P(X = 1) = binom2001 times 0,01^1 times 0,99^199 = 200 times 0,01 times 0,99^199 approx 0,2707
  1. Para k = 2:
P(X = 2) = binom2002 times 0,01^2 times 0,99^198 approx 0,2722
  1. Para k = 3:
P(X = 3) = binom2003 times 0,01^3 times 0,99^197 approx 0,1816
  1. Para k = 4:
P(X = 4) = binom2004 times 0,01^4 times 0,99^196 approx 0,0904

Passo 7

Agora, somamos todas essas probabilidades para encontrar P(X ≤ 4):
P(X <= 4) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)
P(X <= 4) approx 0,1326 + 0,2707 + 0,2722 + 0,1816 + 0,0904 = 0,9475

Resposta

A probabilidade de ter cinco ou mais peças defeituosas em um lote de 200 é de aproximadamente 5,09%.

Exercícios relacionados