Considere uma máquina que apresenta, em média, uma peça com defeito a cada 100 peças fabricadas. Qual a probabilidade de em um lote de 200 peças fabricadas por essa máquina apresentar:
c) cinco ou mais peças defeituosas? R.:

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que está pedindo aqui. A gente tem uma máquina que, em média, faz uma peça defeituosa a cada 100 produzidas. Queremos saber qual a probabilidade de, em um lote de 200 peças, terem cinco ou mais defeituosas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade, especificamente a distribuição binomial. Vamos precisar entender como calcular probabilidades para eventos com dois resultados possíveis (como “defeituosa” ou “não defeituosa”) repetidos várias vezes.

Passo 2

Primeiro, vamos definir os parâmetros da nossa distribuição binomial. Temos:
  • n = 200: número total de peças produzidas.
  • p = 0,01: probabilidade de uma peça individual ser defeituosa (1 a cada 100).

Passo 3

Queremos encontrar a probabilidade de ter cinco ou mais peças defeituosas no lote de 200. Matematicamente, isso é representado como P(X ≥ 5), onde X é o número de peças defeituosas.

Passo 4

Para calcular P(X ≥ 5), podemos usar a seguinte relação:
Então, primeiramente, vamos calcular a probabilidade de ter até quatro peças defeituosas e depois subtrair isso de 1 para encontrar o que queremos.

Passo 5

Agora, vamos calcular P(X ≤ 4). Isso significa somar as probabilidades de ter 0, 1, 2, 3 e 4 peças defeituosas. A fórmula da distribuição binomial para cada k (número de sucessos, ou seja, defeituosas) é:
Onde:
  • é o coeficiente binomial, que calcula de quantas formas podemos escolher k peças defeituosas dentre n.

Passo 6

Vamos calcular cada termo individualmente:
  1. Para k = 0:
  1. Para k = 1:
  1. Para k = 2:
  1. Para k = 3:
  1. Para k = 4:

Passo 7

Agora, somamos todas essas probabilidades para encontrar P(X ≤ 4):

Resposta

A probabilidade de ter cinco ou mais peças defeituosas em um lote de 200 é de aproximadamente 5,09%.

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