Considere que o material usado na confecção de um certo tipo de tapete, tem um custo de R$40,00. O fabricante pretende colocar cada tapete à venda por X reais e, assim, conseguir vender (100-x) tapetes por mês. Nessas condições, para que, mensalmente, seja obtido um lucro máximo, cada tapete deverá ser vendido por :

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem um custo de produção de R$40,00 por tapete. O fabricante quer vender cada tapete por X reais e, dessa forma, espera vender 40,00 por tapete O fabricante quer vender cada tapete por X reais e, dessa forma, espera vender tapetes por mês. Nosso objetivo aqui é encontrar o valor de X que vai maximizar o lucro mensal. Para isso, vamos usar um pouco de matemática básica, envolvendo funções de lucro e derivadas para encontrar o ponto máximo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como calcular o lucro. O lucro mensal é a diferença entre a receita total e o custo total. A receita total é o preço de venda multiplicado pela quantidade vendida, ou seja:
Receita = X times (100 - X)
O custo total é o custo de produção por tapete multiplicado pela quantidade vendida:
Custo Total = 40 times (100 - X)
Então, a função de lucro L(X) fica:
L(X) = Receita - Custo Total = X(100 - X) - 40(100 - X)

Passo 3

Vamos simplificar a função de lucro:
L(X) = (X - 40)(100 - X) = -X^2 + 140X - 4000
Para encontrar o valor de X que maximiza o lucro, precisamos encontrar o vértice dessa parábola. A fórmula para o x do vértice é:
X = -b2a
Onde a = -1 e b = 140. Então:
X = -1402 times (-1) = 70

Resposta

Cada tapete deve ser vendido por R$70,00 para que o lucro mensal seja máximo.

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