Calcular o valor de m para que o volume do paralelepípedo determinado pelos valores v1(0,-1,2), v2(-4,2,-1) e v3(3,m,-2) seja igual a 33. Calcular a altura deste paralelepípedo relativa à base definida por v1 e v2.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Temos um paralelepípedo definido por três vetores: $ \mathbf{v}_1 = (0, -1, 2) $, $ \mathbf{v}_2 = (-4, 2, -1) $ e $ \mathbf{v}_3 = (3, m, -2) $. Precisamos encontrar o valor de $ m $ de forma que o volume desse paralelepípedo seja igual a $ 33 $. Além disso, queremos calcular a altura desse paralelepípedo relativa à base definida pelos vetores $ \mathbf{v}_1 $ e $ \mathbf{v}_2 $.
Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de álgebra vetorial, especificamente o produto misto (produto escalar triple) para calcular o volume e o produto vetorial para determinar a área da base.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o volume $ V $ de um paralelepípedo formado por três vetores $ \mathbf{v}_1 $, $ \mathbf{v}_2 $ e $ \mathbf{v}_3 $ é dado pelo valor absoluto do produto misto desses vetores:
Nosso objetivo é encontrar $ m $ tal que $ V = 33 $.
Passo 3
Vamos calcular o produto vetorial $ \mathbf{v}_2 \times \mathbf{v}_3 $. O produto vetorial de dois vetores $ \mathbf{a} = (a_x, a_y, a_z) $ e $ \mathbf{b} = (b_x, b_y, b_z) $ é dado por:
Aplicando isso aos vetores $ \mathbf{v}_2 = (-4, 2, -1) $ e $ \mathbf{v}_3 = (3, m, -2) $:
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto escalar $ \mathbf{v}_1 \cdot (\mathbf{v}_2 \times \mathbf{v}_3) $. O produto escalar de dois vetores $ \mathbf{a} = (a_x, a_y, a_z) $ e $ \mathbf{b} = (b_x, b_y, b_z) $ é dado por:
Aplicando isso aos vetores $ \mathbf{v}_1 = (0, -1, 2) $ e $ \mathbf{v}_2 \times \mathbf{v}_3 = (m - 4, -11, -4m - 6) $:
Passo 5
Sabemos que o volume $ V $ é o valor absoluto desse produto escalar e queremos que seja igual a $ 33 $:
Isso nos dá duas equações:
- $ -8m - 1 = 33 $
- $ -8m - 1 = -33 $
Vamos resolver cada uma delas.
Para a primeira equação:
Para a segunda equação:
Passo 6
Portanto, os valores de $ m $ que satisfazem a condição são $ m = -\frac{17}{4} $ e $ m = 4 $.
Passo 7
Agora, vamos calcular a altura do paralelepípedo relativa à base definida por $ \mathbf{v}_1 $ e $ \mathbf{v}_2 $.
Primeiro, a área da base $ A $ é dada pelo módulo do produto vetorial $ \mathbf{v}_1 \times \mathbf{v}_2 $.
Vamos calcular $ \mathbf{v}_1 \times \mathbf{v}_2 $:
Agora, a área $ A $ é:
A altura $ h $ é dada pela relação:
Resposta
Os valores de $ m $ são $ m = -\frac{17}{4} $ e $ m = 4 $. A altura do paralelepípedo relativa à base definida por $ \mathbf{v}_1 $ e $ \mathbf{v}_2 $ é $ h = \frac{33}{\sqrt{89}} $.