Considere a matriz G=(lll0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0). Calcule os autovalores e autovetores normalizados.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar os autovalores e os autovetores normalizados da matriz 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como determinantes, polinômios característicos e vetores próprios.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os autovalores de . Os autovalores são valores de que satisfazem a equação , onde é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos calcular a matriz G - lambda I = 0 - lambda & 1 & 0 0 & 0 - lambda & 1 1 & 0 & 0 - lambda = -lambda & 1 & 0 0 & -lambda & 1 1 & 0 & -lambda :

Passo 4

Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(G - lambda I) = -lambda cdot det -lambda & 1 0 & -lambda - 1 cdot det 0 & 1 1 & -lambda + 0 cdot det 0 & -lambda 1 & 0
Simplificando:
= -lambda [(-lambda)(-lambda) - (1)(0)] - 1 [0 cdot (-lambda) - (1)(1)] + 0
= -lambda (lambda^2) - 1 ( -1 )
= -lambda^3 + 1

Passo 5

Igualamos o determinante a zero para encontrar os autovalores:
-lambda^3 + 1 = 0 implies lambda^3 = 1 implies lambda = 1
No entanto, lambda1 = 1, lambda2 = -12 + raiz32i, lambda3 = -12 - raiz32i tem três soluções no conjunto dos números complexos. As soluções são:

Passo 6

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar cada autovetor correspondente. Para cada , resolvemos , onde é o autovetor.

Passo 7

Autovetor para G - I = -1 & 1 & 0 0 & -1 & 1 1 & 0 & -1 :
- v1 + v2 = 0 - v2 + v3 = 0 v1 - v3 = 0
Resolvendo o sistema:
1 1 1
Isso nos dá |v1| = raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = raiz3 . Podemos escolher u1 = 1raiz3 1 1 1 . Para normalizar:
Então, o autovetor normalizado é:

Passo 8

Autovetor para G - lambda2 I = 12 - raiz32i & 1 & 0 0 & 12 - raiz32i & 1 1 & 0 & 12 - raiz32i :
v2 = 1 lambda2 lambda2^2 = 1 -12 + raiz32i -12 - raiz32i
Resolvendo o sistema, encontramos um vetor |v2| = raiz1 + (-12)^2 + (raiz32)^2 + (-12)^2 + (raiz32)^2 = raiz3 proporcional a:
u2 = 1raiz3 1 -12 + raiz32i -12 - raiz32i
Normalizando:
Então:

Passo 9

Autovetor para v3 = 1 lambda3 lambda3^2 = 1 -12 - raiz32i -12 + raiz32i :
Usando o mesmo método, encontramos:
|v3| = raiz3
Normalizando:
u3 = 1raiz3 1 -12 - raiz32i -12 + raiz32i
Então:

Resposta

Os autovalores da matriz lambda1 = 1, lambda2 = -12 + raiz32i, lambda3 = -12 - raiz32i são:
u1 = 1raiz3 1 1 1, u2 = 1raiz3 1 -12 + raiz32i -12 - raiz32i, u3 = 1raiz3 1 -12 - raiz32i -12 + raiz32i
E os autovetores normalizados correspondentes são:

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