Considere a matriz
. Calcule os autovalores e autovetores normalizados.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar os autovalores e os autovetores normalizados da matriz
0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como determinantes, polinômios característicos e vetores próprios.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os autovalores de
. Os autovalores são valores de
que satisfazem a equação
, onde
é a matriz identidade.
Passo 3
Vamos calcular a matriz
G - lambda I = 0 - lambda & 1 & 0 0 & 0 - lambda & 1 1 & 0 & 0 - lambda = -lambda & 1 & 0 0 & -lambda & 1 1 & 0 & -lambda :
Passo 4
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Simplificando:
Passo 5
Igualamos o determinante a zero para encontrar os autovalores:
No entanto,
lambda1 = 1, lambda2 = -12 + raiz32i, lambda3 = -12 - raiz32i tem três soluções no conjunto dos números complexos. As soluções são:
Passo 6
Agora que temos os autovalores, vamos encontrar cada autovetor correspondente. Para cada
, resolvemos
, onde
é o autovetor.
Passo 7
Autovetor para
G - I = -1 & 1 & 0 0 & -1 & 1 1 & 0 & -1 :
Resolvendo o sistema:
Isso nos dá
|v1| = raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = raiz3 . Podemos escolher
u1 = 1raiz3 1 1 1 . Para normalizar:
Então, o autovetor normalizado é:
Passo 8
Autovetor para
G - lambda2 I = 12 - raiz32i & 1 & 0 0 & 12 - raiz32i & 1 1 & 0 & 12 - raiz32i :
Resolvendo o sistema, encontramos um vetor
|v2| = raiz1 + (-12)^2 + (raiz32)^2 + (-12)^2 + (raiz32)^2 = raiz3 proporcional a:
Normalizando:
Então:
Passo 9
Autovetor para
v3 = 1 lambda3 lambda3^2 = 1 -12 - raiz32i -12 + raiz32i :
Usando o mesmo método, encontramos:
Usando o mesmo método, encontramos:
Normalizando:
Então:
Resposta
Os autovalores da matriz
lambda1 = 1, lambda2 = -12 + raiz32i, lambda3 = -12 - raiz32i são:
E os autovetores normalizados correspondentes são: