Considere o sistema de equações lineares abaixo:
clc x+3 y+4 z & = & -5 3 x+2 y+z & =8 2 x+4 y+3 z & =4
Resolva-o:
Usando o Método de Gauss.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares usando o Método de Gauss. O que isso significa? Basicamente, vamos manipular as equações para deixar uma delas com apenas uma incógnita, e assim por diante, até encontrar os valores de clc x + 3 y + 4 z & = & -5 3 x + 2 y + z & =8 2 x + 4 y + 3 z & =4 , e . Vamos precisar usar operações de linhas, como trocar, multiplicar ou somar equações. O sistema que temos é:

Passo 2

Primeiro, vamos deixar o coeficiente de E2' = E2 - 3 times E1 na primeira equação como 1 (já está ok). Agora, vamos eliminar 3x + 2y + z - 3(x + 3y + 4z) = 8 - 3(-5) 3x + 2y + z - 3x - 9y - 12z = 8 + 15 -7y - 11z = 23 das outras duas equações usando a primeira equação.
Para a segunda equação:
-7y - 11z = 23
Calculando:
E3' = E3 - 2 times E1
Então, a nova segunda equação é:
2x + 4y + 3z - 2(x + 3y + 4z) = 4 - 2(-5) 2x + 4y + 3z - 2x - 6y - 8z = 4 + 10 -2y - 5z = 14
Para a terceira equação:
-2y - 5z = 14
Calculando:
clc x + 3 y + 4 z & = & -5 -7 y - 11 z & = & 23 -2 y - 5 z & = & 14
Então, a nova terceira equação é:
Agora o sistema está assim:

Passo 3

Agora, vamos focar nas equações 2 e 3 para eliminar uma das variáveis. Vamos eliminar E3'' = 72 times E3 72 times (-2y) + 72 times (-5z) = 72 times 14 -7y - 352z = 49 .
Primeiro, vamos multiplicar a equação 3 por E2' - E3'': (-7y - 11z) - (-7y - 352z) = 23 - 49 (-7y + 7y) + (-11z + 352z) = -26 132z = -26 para igualar os coeficientes de z = -26 times 213 = -4 :
Agora, subtraímos essa nova equação da equação 2:
Resolvendo para :

Passo 4

Agora que já encontramos -2y - 5z = 14 -2y - 5(-4) = 14 -2y + 20 = 14 -2y = 14 - 20 -2y = -6 y = -6-2 = 3 , vamos substituir esse valor em uma das equações para achar . Vamos usar a equação 3 original:

Passo 5

Agora que temos x + 3y + 4z = -5 x + 3(3) + 4(-4) = -5 x + 9 - 16 = -5 x - 7 = -5 x = -5 + 7 x = 2 e , vamos substituir esses valores na primeira equação para encontrar :

Resposta

A solução do sistema é:
x = 2, y = 3, z = -4

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