Sejam as matrizes genéricas de tamanho n times n no qual A e B não nulas e diagonais. Mostrar que o computador [A, B]=AB-BA=0. Use a definição de produto matricial: (A B)i j= sumk ai k bk j.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas matrizes quadradas e de tamanho que são não nulas e diagonais. Nosso objetivo é mostrar que o comutador dessas matrizes, dado por , é igual a zero. Para isso, vamos usar a definição de produto matricial, que é .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma matriz ser diagonal. Uma matriz diagonal é aquela em que todos os elementos que não estão na diagonal principal (de cima à esquerda para baixo à direita) são zero. Ou seja, para a matriz , temos se , e o mesmo vale para .

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto (AB)ij = sumk=1^n aik bkj . Pela definição de produto matricial:
(AB)ij = aii bij
Como (AB)ij = aii bii & se i = j 0 & se i neq j e são diagonais, é zero a menos que , e é zero a menos que . Então, na soma, só teremos termos não nulos quando . Assim:
Mas como também é diagonal, se . Portanto, também é uma matriz diagonal, onde:

Passo 4

De maneira similar, vamos calcular o produto (BA)ij = sumk=1^n bik akj :
(BA)ij = bii aij
Seguindo a mesma lógica, (BA)ij = bii aii & se i = j 0 & se i neq j é zero a menos que , e é zero a menos que . Então:
Como é diagonal, se . Logo, também é uma matriz diagonal, onde:

Passo 5

Agora, vamos calcular o comutador ([A, B])ij = (AB)ij - (BA)ij . Como ([A, B])ii = aii bii - bii aii = 0 e ([A, B])ij = 0 - 0 = 0 são ambas matrizes diagonais, a subtração vai ser feita elemento a elemento:
Para os elementos diagonais ( ):
E para os elementos fora da diagonal ( ):
Então, todos os elementos de são zero.

Resposta

Portanto, .

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