Sejam as matrizes genéricas de tamanho
no qual
e
não nulas e diagonais. Mostrar que o computador
. Use a definição de produto matricial:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas matrizes quadradas
e
de tamanho
que são não nulas e diagonais. Nosso objetivo é mostrar que o comutador dessas matrizes, dado por
, é igual a zero. Para isso, vamos usar a definição de produto matricial, que é
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma matriz ser diagonal. Uma matriz diagonal é aquela em que todos os elementos que não estão na diagonal principal (de cima à esquerda para baixo à direita) são zero. Ou seja, para a matriz
, temos
se
, e o mesmo vale para
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto
. Pela definição de produto matricial:
Como
e
são diagonais,
é zero a menos que
, e
é zero a menos que
. Então, na soma, só teremos termos não nulos quando
. Assim:
Mas como
também é diagonal,
se
. Portanto,
também é uma matriz diagonal, onde:
Passo 4
De maneira similar, vamos calcular o produto
:
Seguindo a mesma lógica,
é zero a menos que
, e
é zero a menos que
. Então:
Como
é diagonal,
se
. Logo,
também é uma matriz diagonal, onde:
Passo 5
Agora, vamos calcular o comutador
. Como
e
são ambas matrizes diagonais, a subtração vai ser feita elemento a elemento:
Para os elementos diagonais (
):
E para os elementos fora da diagonal (
):
Então, todos os elementos de
são zero.
Resposta
Portanto,
.