Resolva os sistemas de equações lineares abaixo, usando a Regra de Cramer:
x+2 y+3 z & =2 2 x+3 y-z & =-2 3 x+2 y+z & =2

Passo 1

Vamos resolver o sistema de equações lineares usando a Regra de Cramer. Esse método é utilizado quando temos um sistema de n equações lineares com n incógnitas e queremos encontrar os valores das incógnitas de forma direta. Para isso, precisamos calcular determinantes das matrizes envolvidas no sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz dos coeficientes do sistema. No nosso caso, o sistema é:
x + 2y + 3z = 2 2x + 3y - z = -2 3x + 2y + z = 2
A matriz dos coeficientes A = 1 & 2 & 3 2 & 3 & -1 3 & 2 & 1 é:

Passo 3

Vamos calcular o determinante da matriz det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) , denotado como det(A) = 1 times (3 times 1 - (-1) times 2) - 2 times (2 times 1 - (-1) times 3) + 3 times (2 times 2 - 3 times 3) . O determinante de uma matriz 3x3 é calculado da seguinte forma:
det(A) = 1 times (3 + 2) - 2 times (2 + 3) + 3 times (4 - 9)
Para a nossa matriz:
det(A) = 5 - 10 - 15 = -20

Passo 4

Agora, vamos calcular os determinantes das matrizes Ax = 2 & 2 & 3 -2 & 3 & -1 2 & 2 & 1 , det(Ax) = 2 times (3 times 1 - (-1) times 2) - 2 times (-2 times 1 - (-1) times 2) + 3 times (-2 times 2 - 3 times 2) e det(Ax) = 2 times (3 + 2) - 2 times (-2 + 2) + 3 times (-4 - 6) , que são obtidas substituindo a coluna correspondente à variável pelo vetor dos termos independentes.
Para det(Ax) = 10 - 0 - 30 = -20 :
Ay = 1 & 2 & 3 2 & -2 & -1 3 & 2 & 1
Calculando det(Ay) = 1 times (-2 times 1 - (-1) times 2) - 2 times (2 times 1 - (-1) times 3) + 3 times (2 times 2 - (-2) times 3) :
det(Ay) = 1 times (-2 + 2) - 2 times (2 + 3) + 3 times (4 + 6)
det(Ay) = 0 - 10 + 30 = 20
Az = 1 & 2 & 2 2 & 3 & -2 3 & 2 & 2
Para det(Az) = 1 times (3 times 2 - (-2) times 2) - 2 times (2 times 2 - (-2) times 3) + 2 times (2 times 2 - 3 times 3) :
det(Az) = 1 times (6 + 4) - 2 times (4 + 6) + 2 times (4 - 9)
Calculando det(Az) = 10 - 20 - 10 = -20 :
Para :
Calculando :

Passo 5

Agora, usando a Regra de Cramer, calculamos cada variável dividindo o determinante da respectiva matriz pelo determinante da matriz original x = det(Ax)det(A) = -20-20 = 1 :
y = det(Ay)det(A) = 20-20 = -1
z = det(Az)det(A) = -20-20 = 1

Resposta

As soluções do sistema são:
x = 1, y = -1, z = 1

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