Considere a matriz de um hamiltoniano do tipo H=(llvarepsilon & De correspondente a um sistema de dois níveis. Sendo |E+rang<=e |E-rang<=os autovetores de H, suponha que - sistema se encontra no estado de superposição |alpharang<==12|E+rang<=+raiz32|E-rang<=, determine: (a) o valor esperado para H (notação lang<=Hrang<= ou H ), (b) a probabilidade de uma medida fornecer o autovalor E+ou E-, isto é, P(E+)ou P(E+), respectivamente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um hamiltoniano H para um sistema de dois níveis, representado pela matriz:
H = varepsilon & De
Estamos trabalhando com a mecânica quântica, especificamente com autovetores e autovalores dessa matriz. O sistema está no estado de superposição |alpharang<= = 12|E+rang<= + raiz32|E-rang<=. Precisamos determinar:
a) O valor esperado de H, denotado por lang<=Hrang<=.
b) A probabilidade de medir o autovalor E+ ou E-.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de estados quânticos, valor esperado e probabilidades de medida.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor esperado lang<=Hrang<=. O valor esperado de um operador H no estado |alpharang<= é dado por:
lang<=Hrang<= = lang<= alpha | H | alpha rang<=
Como |E+rang<= e |E-rang<= são autovetores de H com autovalores E+ e E- respectivamente, temos:
H|E+rang<= = E+|E+rang<= e H|E-rang<= = E-|E-rang<=

Passo 3

Vamos substituir |alpharang<= na expressão do valor esperado:
lang<=Hrang<= = ( 12lang<= E+| + raiz32lang<= E-| ) H ( 12|E+rang<= + raiz32|E-rang<= )
Distribuindo a multiplicação:
lang<=Hrang<= = 14lang<= E+|H|E+rang<= + raiz34lang<= E+|H|E-rang<= + raiz34lang<= E-|H|E+rang<= + 34lang<= E-|H|E-rang<=
Como H|Epmrang<= = Epm|Epmrang<= e lang<= E+|E-rang<= = 0 (autovetores ortogonais), os termos cruzados desaparecem:
lang<=Hrang<= = 14E+ + 34E-

Passo 4

Agora, vamos às probabilidades. A probabilidade de medir um autovalor específico é o quadrado do coeficiente do estado correspondente na superposição.
Para E+:
P(E+) = | 12 |^2 = 14
Para E-:
P(E-) = | raiz32 |^2 = 34

Resposta

a) O valor esperado de H é lang<=Hrang<= = 14E+ + 34E-.
b) A probabilidade de medir E+ é P(E+) = 14 e de medir E- é P(E-) = 34.

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