Considere a matriz de um hamiltoniano do tipo correspondente a um sistema de dois níveis. Sendo e os autovetores de , suponha que - sistema se encontra no estado de superposição , determine: (a) o valor esperado para (notação ou ), (b) a probabilidade de uma medida fornecer o autovalor ou , isto é, ou , respectivamente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um hamiltoniano para um sistema de dois níveis, representado pela matriz:
Estamos trabalhando com a mecânica quântica, especificamente com autovetores e autovalores dessa matriz. O sistema está no estado de superposição . Precisamos determinar:
a) O valor esperado de , denotado por .
b) A probabilidade de medir o autovalor ou .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de estados quânticos, valor esperado e probabilidades de medida.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor esperado . O valor esperado de um operador no estado é dado por:
Como e são autovetores de com autovalores e respectivamente, temos:

Passo 3

Vamos substituir na expressão do valor esperado:
Distribuindo a multiplicação:
Como e (autovetores ortogonais), os termos cruzados desaparecem:

Passo 4

Agora, vamos às probabilidades. A probabilidade de medir um autovalor específico é o quadrado do coeficiente do estado correspondente na superposição.
Para :
Para :

Resposta

a) O valor esperado de é .
b) A probabilidade de medir é e de medir é .

Exercícios relacionados

Considere a matriz simétrica . Reproduza esta matriz a partir de seus autovalores e autovetores normalizados como consequência do teorema espectral: .
Uma onda senoidal contínua propaga-se numa corda com velocidade de . Verifica-se que o deslocamento das partículas da corda no ponto varia com o tempo de acordo com a função . A densidade linear da corda é . a) Qual é a frequência da onda? b) Qual é comprimento de onda da onda? c) Escreva a função que dá o deslocamento transversal das partículas da corda em função da posição e do tempo. d) calcule a tensão na corda. Resp.: a) ; b) : c)
Teste a convergência da série indicando qual é o critério utilizado na análise:
Mostre que o produto dos vetores e de , satisfaz a definição para produto escalar.