Teste a convergência da série indicando qual é o critério utilizado na análise:
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma série infinita: . O objetivo é verificar se essa série converge, ou seja, se a soma dos seus termos chega a um valor finito. Para isso, vamos usar o Critério da Comparação, que nos ajuda a comparar a série dada com outra série que já sabemos se converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, analisamos o termo geral da série: . Aqui, é uma função exponencial que decai muito rapidamente conforme n aumenta. Isso sugere que os termos da série estão ficando pequenos rapidamente, o que é bom para a convergência.
Passo 3
Vamos comparar a nossa série com uma série mais simples. Observamos que é menor que para todo n ≥ 1, porque . Então, temos:
Passo 4
Agora, consideramos a série comparativa . Podemos fatorar o 6:
Passo 5
Sabemos que a série converge. Isso pode ser visto usando o Teste da Razão ou reconhecendo que é uma série exponencialmente decrescente multiplicada por n, o que ainda garante convergência.
Passo 6
Como converge e cada termo da nossa série original é menor que os termos dessa série convergente, pelo Critério da Comparação, a série original também converge.