Teste a convergência da série indicando qual é o critério utilizado na análise:

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma série infinita: . O objetivo é verificar se essa série converge, ou seja, se a soma dos seus termos chega a um valor finito. Para isso, vamos usar o Critério da Comparação, que nos ajuda a comparar a série dada com outra série que já sabemos se converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, analisamos o termo geral da série: . Aqui, é uma função exponencial que decai muito rapidamente conforme n aumenta. Isso sugere que os termos da série estão ficando pequenos rapidamente, o que é bom para a convergência.

Passo 3

Vamos comparar a nossa série com uma série mais simples. Observamos que é menor que para todo n ≥ 1, porque . Então, temos:

Passo 4

Agora, consideramos a série comparativa . Podemos fatorar o 6:

Passo 5

Sabemos que a série converge. Isso pode ser visto usando o Teste da Razão ou reconhecendo que é uma série exponencialmente decrescente multiplicada por n, o que ainda garante convergência.

Passo 6

Como converge e cada termo da nossa série original é menor que os termos dessa série convergente, pelo Critério da Comparação, a série original também converge.

Resposta

A série converge pelo Critério da Comparação.

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Considere a matriz simétrica . Reproduza esta matriz a partir de seus autovalores e autovetores normalizados como consequência do teorema espectral: .
Mostre que o produto dos vetores e de , satisfaz a definição para produto escalar.
Determine as fórmulas para e . ©