Teste a convergência da série indicando qual é o critério utilizado na análise: sumn=6^infty 6 n e^-n^2

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma série infinita: sumn=6^infty 6n e^-n^2. O objetivo é verificar se essa série converge, ou seja, se a soma dos seus termos chega a um valor finito. Para isso, vamos usar o Critério da Comparação, que nos ajuda a comparar a série dada com outra série que já sabemos se converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, analisamos o termo geral da série: 6n e^-n^2. Aqui, e^-n^2 é uma função exponencial que decai muito rapidamente conforme n aumenta. Isso sugere que os termos da série estão ficando pequenos rapidamente, o que é bom para a convergência.

Passo 3

Vamos comparar a nossa série com uma série mais simples. Observamos que e^-n^2 é menor que e^-n para todo n ≥ 1, porque n^2 > n. Então, temos:
6n e^-n^2 < 6n e^-n

Passo 4

Agora, consideramos a série comparativa sumn=6^infty 6n e^-n. Podemos fatorar o 6:
6 sumn=6^infty n e^-n

Passo 5

Sabemos que a série sumn=1^infty n e^-n converge. Isso pode ser visto usando o Teste da Razão ou reconhecendo que é uma série exponencialmente decrescente multiplicada por n, o que ainda garante convergência.

Passo 6

Como sumn=6^infty 6n e^-n converge e cada termo da nossa série original é menor que os termos dessa série convergente, pelo Critério da Comparação, a série original sumn=6^infty 6n e^-n^2 também converge.

Resposta

A série sumn=6^infty 6n e^-n^2 converge pelo Critério da Comparação.

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