Mostre que o produto dos vetores a=(a1, a2, a3) e b=(b1, b2, b3) de R^3, a cdot b=a1 b1+a2 b2+a3 b3 satisfaz a definição para produto escalar.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores no espaço tridimensional, a = (a1, a2, a3) e b = (b1, b2, b3). A questão pede pra mostrar que o produto deles, definido como a cdot b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3, realmente satisfaz a definição de produto escalar. Para isso, vamos precisar entender o que é um produto escalar e quais propriedades ele deve ter.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um produto escalar. Em álgebra linear, o produto escalar entre dois vetores deve cumprir algumas propriedades básicas: ser comutativo, distributivo em relação à soma de vetores e ser compatível com a multiplicação por escalar. Além disso, o produto escalar de um vetor consigo mesmo deve ser positivo, a menos que o vetor seja o vetor nulo.

Passo 3

Vamos verificar a primeira propriedade: comutatividade. Isso significa que a cdot b deve ser igual a b cdot a. Calculando:
a cdot b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3
b cdot a = b1 a1 + b2 a2 + b3 a3
Como a multiplicação de números reais é comutativa ( ai bi = bi ai), temos que a cdot b = b cdot a.

Passo 4

Agora, vamos ver a distributividade em relação à soma de vetores. Ou seja, a cdot (b + c) deve ser igual a a cdot b + a cdot c. Calculando:
a cdot (b + c) = a1 (b1 + c1) + a2 (b2 + c2) + a3 (b3 + c3)
Distribuindo:
= a1 b1 + a1 c1 + a2 b2 + a2 c2 + a3 b3 + a3 c3
E isso é igual a:
a cdot b + a cdot c = (a1 b1 + a2 b2 + a3 b3) + (a1 c1 + a2 c2 + a3 c3)
Portanto, a propriedade de distributividade é satisfeita.

Passo 5

Por último, vamos verificar a positividade. O produto escalar de um vetor consigo mesmo, a cdot a, deve ser sempre positivo, a menos que a seja o vetor nulo. Calculando:
a cdot a = a1^2 + a2^2 + a3^2
Cada termo ai^2 é positivo ou zero, então a soma deles também é positiva, a menos que todos ai sejam zero (ou seja, a é o vetor nulo).

Resposta

Assim, mostramos que o produto a cdot b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 satisfaz todas as propriedades necessárias para ser um produto escalar em R^3.

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