Mostre que o produto dos vetores e de , satisfaz a definição para produto escalar.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores no espaço tridimensional, e . A questão pede pra mostrar que o produto deles, definido como , realmente satisfaz a definição de produto escalar. Para isso, vamos precisar entender o que é um produto escalar e quais propriedades ele deve ter.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um produto escalar. Em álgebra linear, o produto escalar entre dois vetores deve cumprir algumas propriedades básicas: ser comutativo, distributivo em relação à soma de vetores e ser compatível com a multiplicação por escalar. Além disso, o produto escalar de um vetor consigo mesmo deve ser positivo, a menos que o vetor seja o vetor nulo.

Passo 3

Vamos verificar a primeira propriedade: comutatividade. Isso significa que deve ser igual a . Calculando:
Como a multiplicação de números reais é comutativa ( ), temos que .

Passo 4

Agora, vamos ver a distributividade em relação à soma de vetores. Ou seja, deve ser igual a . Calculando:
Distribuindo:
E isso é igual a:
Portanto, a propriedade de distributividade é satisfeita.

Passo 5

Por último, vamos verificar a positividade. O produto escalar de um vetor consigo mesmo, , deve ser sempre positivo, a menos que seja o vetor nulo. Calculando:
Cada termo é positivo ou zero, então a soma deles também é positiva, a menos que todos sejam zero (ou seja, é o vetor nulo).

Resposta

Assim, mostramos que o produto satisfaz todas as propriedades necessárias para ser um produto escalar em .

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