Mostre que o produto dos vetores e de , satisfaz a definição para produto escalar.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores no espaço tridimensional, e . A questão pede pra mostrar que o produto deles, definido como , realmente satisfaz a definição de produto escalar. Para isso, vamos precisar entender o que é um produto escalar e quais propriedades ele deve ter.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um produto escalar. Em álgebra linear, o produto escalar entre dois vetores deve cumprir algumas propriedades básicas: ser comutativo, distributivo em relação à soma de vetores e ser compatível com a multiplicação por escalar. Além disso, o produto escalar de um vetor consigo mesmo deve ser positivo, a menos que o vetor seja o vetor nulo.
Passo 3
Vamos verificar a primeira propriedade: comutatividade. Isso significa que deve ser igual a . Calculando:
Como a multiplicação de números reais é comutativa (), temos que .
Passo 4
Agora, vamos ver a distributividade em relação à soma de vetores. Ou seja, deve ser igual a . Calculando:
Distribuindo:
E isso é igual a:
Portanto, a propriedade de distributividade é satisfeita.
Passo 5
Por último, vamos verificar a positividade. O produto escalar de um vetor consigo mesmo, , deve ser sempre positivo, a menos que seja o vetor nulo. Calculando:
Cada termo é positivo ou zero, então a soma deles também é positiva, a menos que todos sejam zero (ou seja, é o vetor nulo).
Resposta
Assim, mostramos que o produto satisfaz todas as propriedades necessárias para ser um produto escalar em .