Considere a matriz simétrica A=(ll1 & 3 3 & 1). Reproduza esta matriz a partir de seus autovalores (lambda, gamma) e autovetores normalizados (v1, v2),(w1, w2) como consequência do teorema espectral: A=lambdabinomv1v2(v1, v2)+gammabinomw1w2(w1, w2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz simétrica 1 & 3 3 & 1 e a gente precisa reconstruí-la usando os autovalores e os autovetores normalizados dela, conforme o teorema espectral. Basicamente, vamos usar conceitos de álgebra linear como encontrar autovalores, autovetores e entender como eles se relacionam para reconstruir a matriz original.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz det(A - lambda I) = 0 . Para isso, resolvemos o determinante de igual a zero:
Onde é a matriz identidade e são os autovalores.

Passo 3

Calculando A - lambda I = 1 - lambda & 3 3 & 1 - lambda :
det(A - lambda I) = (1 - lambda)(1 - lambda) - (3)(3) = (1 - lambda)^2 - 9 = 0
Agora, calculamos o determinante:

Passo 4

Resolvendo a equação:
(1 - lambda)^2 - 9 = 0 (1 - lambda)^2 = 9 1 - lambda = pm 3 lambda = 1 mp 3
Então, os autovalores são:
lambda1 = 4 e lambda2 = -2

Passo 5

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Vamos começar com 1 - 4 & 3 3 & 1 - 4 v1 v2 = -3 & 3 3 & -3 v1 v2 = 0 0 .
Resolvendo -3v1 + 3v2 = 0 implies v1 = v2 :
1 1
Isso nos dá a equação:
Então, um autovetor associado a é .

Passo 6

Agora, vamos normalizar esse autovetor. A normalização consiste em dividir o vetor pela sua norma (comprimento):
|v| = raiz1^2 + 1^2 = raiz2
Então, o autovetor normalizado é:
v = 1raiz2 1 1 = 1raiz2 1raiz2

Passo 7

Vamos repetir o processo para o segundo autovalor 1 + 2 & 3 3 & 1 + 2 w1 w2 = 3 & 3 3 & 3 w1 w2 = 0 0 .
Resolvendo 3w1 + 3w2 = 0 implies w1 = -w2 :
1 -1
Isso nos dá a equação:
Então, um autovetor associado a é .

Passo 8

Vamos normalizar esse autovetor também:
|w| = raiz1^2 + (-1)^2 = raiz2
Então, o autovetor normalizado é:
w = 1raiz2 1 -1 = 1raiz2 -1raiz2

Passo 9

Agora que temos os autovalores e os autovetores normalizados, vamos aplicar o teorema espectral para reconstruir a matriz A = lambda1 v v^T + lambda2 w w^T :
A = 4 1raiz2 1raiz2 1raiz2 & 1raiz2 + (-2) 1raiz2 -1raiz2 1raiz2 & -1raiz2
Substituindo os valores:

Passo 10

Vamos calcular cada termo separadamente:
Primeiro termo:
4 1raiz2 1raiz2 1raiz2 & 1raiz2 = 4 12 & 12 12 & 12 = 2 & 2 2 & 2
Segundo termo:
-2 1raiz2 -1raiz2 1raiz2 & -1raiz2 = -2 12 & -12 -12 & 12 = -1 & 1 1 & -1

Passo 11

Somando os dois termos:
A = 2 & 2 2 & 2 + -1 & 1 1 & -1 = 1 & 3 3 & 1

Resposta

A matriz A = 4 1raiz2 1raiz2 1raiz2 & 1raiz2 + (-2) 1raiz2 -1raiz2 1raiz2 & -1raiz2 = 1 & 3 3 & 1 é reproduzida como:

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