Considere a matriz simétrica . Reproduza esta matriz a partir de seus autovalores e autovetores normalizados como consequência do teorema espectral: .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz simétrica e a gente precisa reconstruí-la usando os autovalores e os autovetores normalizados dela, conforme o teorema espectral. Basicamente, vamos usar conceitos de álgebra linear como encontrar autovalores, autovetores e entender como eles se relacionam para reconstruir a matriz original.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz . Para isso, resolvemos o determinante de igual a zero:
Onde é a matriz identidade e são os autovalores.
Passo 3
Calculando :
Agora, calculamos o determinante:
Passo 4
Resolvendo a equação:
Então, os autovalores são:
Passo 5
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Vamos começar com .
Resolvendo :
Isso nos dá a equação:
Então, um autovetor associado a é .
Passo 6
Agora, vamos normalizar esse autovetor. A normalização consiste em dividir o vetor pela sua norma (comprimento):
Então, o autovetor normalizado é:
Passo 7
Vamos repetir o processo para o segundo autovalor .
Resolvendo :
Isso nos dá a equação:
Então, um autovetor associado a é .
Passo 8
Vamos normalizar esse autovetor também:
Então, o autovetor normalizado é:
Passo 9
Agora que temos os autovalores e os autovetores normalizados, vamos aplicar o teorema espectral para reconstruir a matriz :