Considere a matriz simétrica
. Reproduza esta matriz a partir de seus autovalores
e autovetores normalizados
como consequência do teorema espectral:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz simétrica
e a gente precisa reconstruí-la usando os autovalores e os autovetores normalizados dela, conforme o teorema espectral. Basicamente, vamos usar conceitos de álgebra linear como encontrar autovalores, autovetores e entender como eles se relacionam para reconstruir a matriz original.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz
. Para isso, resolvemos o determinante de
igual a zero:
Onde
é a matriz identidade e
são os autovalores.
Passo 3
Calculando
:
Agora, calculamos o determinante:
Passo 4
Resolvendo a equação:
Então, os autovalores são:
Passo 5
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Vamos começar com
.
Resolvendo
:
Isso nos dá a equação:
Então, um autovetor associado a
é
.
Passo 6
Agora, vamos normalizar esse autovetor. A normalização consiste em dividir o vetor pela sua norma (comprimento):
Então, o autovetor normalizado é:
Passo 7
Vamos repetir o processo para o segundo autovalor
.
Resolvendo
:
Isso nos dá a equação:
Então, um autovetor associado a
é
.
Passo 8
Vamos normalizar esse autovetor também:
Então, o autovetor normalizado é:
Passo 9
Agora que temos os autovalores e os autovetores normalizados, vamos aplicar o teorema espectral para reconstruir a matriz
:
Substituindo os valores:
Passo 10
Vamos calcular cada termo separadamente:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Passo 11
Somando os dois termos:
Resposta
A matriz
é reproduzida como: