Considere a matriz simétrica . Reproduza esta matriz a partir de seus autovalores e autovetores normalizados como consequência do teorema espectral: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz simétrica e a gente precisa reconstruí-la usando os autovalores e os autovetores normalizados dela, conforme o teorema espectral. Basicamente, vamos usar conceitos de álgebra linear como encontrar autovalores, autovetores e entender como eles se relacionam para reconstruir a matriz original.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz . Para isso, resolvemos o determinante de igual a zero:
Onde é a matriz identidade e são os autovalores.

Passo 3

Calculando :
Agora, calculamos o determinante:

Passo 4

Resolvendo a equação:
Então, os autovalores são:

Passo 5

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Vamos começar com .
Resolvendo :
Isso nos dá a equação:
Então, um autovetor associado a é .

Passo 6

Agora, vamos normalizar esse autovetor. A normalização consiste em dividir o vetor pela sua norma (comprimento):
Então, o autovetor normalizado é:

Passo 7

Vamos repetir o processo para o segundo autovalor .
Resolvendo :
Isso nos dá a equação:
Então, um autovetor associado a é .

Passo 8

Vamos normalizar esse autovetor também:
Então, o autovetor normalizado é:

Passo 9

Agora que temos os autovalores e os autovetores normalizados, vamos aplicar o teorema espectral para reconstruir a matriz :
Substituindo os valores:

Passo 10

Vamos calcular cada termo separadamente:
Primeiro termo:
Segundo termo:

Passo 11

Somando os dois termos:

Resposta

A matriz é reproduzida como:

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