Considere a matriz .
Exiba matrizes invertível e diagonal tais que .

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. A gente tem uma matriz quadrada e precisa encontrar duas matrizes: , que precisa ser invertível (ou seja, ter inversa), e , que deve ser uma matriz diagonal. Essas matrizes devem satisfazer a relação . Isso é o que chamamos de diagonalização de matrizes, um conceito importante no estudo de álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os autovalores e autovetores da matriz .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz . Os autovalores são valores de que satisfazem a equação característica:
Onde é a matriz identidade do mesmo tamanho que , e representa o determinante.

Passo 3

Vamos montar a matriz :

Passo 4

Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Simplificando:

Passo 5

Agora, resolvemos a equação característica:
Vamos tentar encontrar as raízes dessa equação. Testando valores inteiros, vemos que:
Para :
Para :
Então, é uma raiz. Agora, podemos fatorar a equação:
Resolvendo :
Portanto, os autovalores são e .

Passo 6

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um.
Para , resolvemos :
Resolvendo, encontramos que os autovetores são múltiplos de .
Para , resolvemos :
Isso nos dá vetores que satisfazem . Dois vetores independentes que satisfazem isso são e .

Passo 7

Agora, montamos a matriz com os autovetores como colunas:
E a matriz com os autovalores na diagonal:

Resposta

As matrizes desejadas são:

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Verifique que é ortogonal mostrando que .
Classifique e esboce cada uma das superfícies abaixo.
Classifique e esboce cada uma das superfícies abaixo.
Seja o subespaço gerado pelos vetores de .
(a) Verifique se está em .