Considere a matriz .
Exiba matrizes invertível e diagonal tais que .
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. A gente tem uma matriz quadrada e precisa encontrar duas matrizes: , que precisa ser invertível (ou seja, ter inversa), e , que deve ser uma matriz diagonal. Essas matrizes devem satisfazer a relação . Isso é o que chamamos de diagonalização de matrizes, um conceito importante no estudo de álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os autovalores e autovetores da matriz .
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz . Os autovalores são valores de que satisfazem a equação característica:
Onde é a matriz identidade do mesmo tamanho que , e representa o determinante.
Passo 3
Vamos montar a matriz :
Passo 4
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Simplificando:
Passo 5
Agora, resolvemos a equação característica:
Vamos tentar encontrar as raízes dessa equação. Testando valores inteiros, vemos que:
Para :
Para :
Então, é uma raiz. Agora, podemos fatorar a equação:
Resolvendo :
Portanto, os autovalores são e .
Passo 6
Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um.
Para , resolvemos :
Resolvendo, encontramos que os autovetores são múltiplos de .
Para , resolvemos :
Isso nos dá vetores que satisfazem . Dois vetores independentes que satisfazem isso são e .
Passo 7
Agora, montamos a matriz com os autovetores como colunas: