Classifique e esboce cada uma das superfícies abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente classificar (ou seja, identificar que tipo de superfície estamos lidando) e esboçar (fazer um desenho aproximado) da equação dada: . Estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente com superfícies quadráticas. Para resolver isso, vamos precisar entender os diferentes tipos de superfícies quadráticas e como identificar cada uma delas a partir da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a equação . Ela está na forma geral de uma superfície quadrática, que pode ser escrita como:
Onde , e determinam as dimensões ao longo dos eixos , e , respectivamente.
Passo 3
Observando a nossa equação:
Podemos reescrevê-la para se assemelhar mais à forma geral, dividindo todos os termos por 1:
Aqui, percebemos que o termo com não está presente, o que é o mesmo que dizer que o denominador é infinito (), já que qualquer número dividido por infinito é zero. Isso nos dá uma pista sobre o tipo de superfície.
Passo 4
Sabemos que quando temos dois termos positivos igualados a 1 e o terceiro termo não aparece (ou seja, multiplicado por zero), a superfície resultante é um cilindro elíptico. Isso porque a equação descreve elipses no plano que se estendem infinitamente ao longo do eixo .
Passo 5
Vamos identificar os parâmetros:
sugere que no eixo , o raio é .
indica que no eixo , o raio é .
Portanto, a base do cilindro é uma elipse com semi-eixos de comprimento 2 (no eixo ) e aproximadamente 0,577 (no eixo ).
Passo 6
Para esboçar, vamos desenhar a elipse no plano com os semi-eixos identificados:
No eixo , marque pontos em -2 e 2.
No eixo , marque pontos em aproximadamente -0,577 e 0,577.
Desenhe a elipse conectando esses pontos.
Repita essa elipse ao longo de todo o eixo , já que o cilindro se estende indefinidamente nesse eixo.
Resposta
A equação representa um cilindro elíptico. Este cilindro tem uma base elíptica com semi-eixos de comprimento 2 no eixo e aproximadamente 0,577 no eixo , estendendo-se infinitamente ao longo do eixo . O esboço consiste em uma elipse desenhada no plano repetida ao longo do eixo .