Seja o subespaço gerado pelos vetores de .
(a) Verifique se está em .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se o vetor está no subespaço gerado pelos vetores . Vamos usar conceitos de combinação linear e sistemas de equações para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos ver se conseguimos escrever como uma combinação linear dos vetores que geram . Ou seja, queremos encontrar coeficientes tais que:
Passo 3
Vamos montar as equações a partir das componentes dos vetores:
A última equação é redundante, então vamos focar nas três primeiras.
Passo 4
Vamos resolver o sistema de equações:
\quad (Equação 1)
\quad (Equação 2)
\quad (Equação 3)
Primeiro, subtraímos a Equação 1 da Equação 2 para eliminar :
Assim, temos .
Passo 5
Agora, substituímos na Equação 1:
Passo 6
Vamos substituir e na Equação 3:
Passo 7
Até aqui, vemos que:
Como é uma variável livre, podemos escolher qualquer valor para ele e encontrar os correspondentes . Isso significa que sempre existe uma combinação linear que resulta em .