Considere a matriz . Calcule o det(A^n), para todo número natural n.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz 1 & 2 & 3 1 & 1 & 2 0 & 1 & 2 e precisa calcular o determinante de para qualquer número natural . A matéria envolvida aqui é de álgebra linear, especificamente determinantes de matrizes e propriedades deles. Vamos precisar conhecer a propriedade que relaciona o determinante de uma matriz elevada a uma potência com o determinante da matriz original.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar uma propriedade importante dos determinantes: para qualquer matriz quadrada det(A^n) = (det A)^n e qualquer número natural , o determinante de é igual ao determinante de elevado à -ésima potência. Matematicamente, isso é escrito como:
Então, nossa tarefa agora é calcular .
Passo 3
Vamos calcular o determinante da matriz A = 1 & 2 & 3 1 & 1 & 2 0 & 1 & 2 :
Para calcular o determinante de uma matriz 3x3, podemos usar a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a regra de Sarrus para facilitar.