Seja M=(cccca & 0 & b & 2 a & a & 4 & 4 0 & a & 2 & b) a matriz ampliada (ou aumentada) do sistema linear. Para que valores de a e b o sistema admite: Solução com duas variáveis livres.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos apresenta uma matriz aumentada de um sistema linear e pede para descobrir para quais valores de e o sistema tem duas variáveis livres. Isso está relacionado ao estudo de sistemas lineares e espaços vetoriais, especificamente sobre o número de soluções que o sistema pode ter.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ter duas variáveis livres. Em um sistema linear, variáveis livres são aquelas que não são pivôs (ou seja, não lideram nenhuma equação após a redução da matriz). Se temos duas variáveis livres, isso implica que o sistema tem infinitas soluções, e podemos expressar as soluções em termos dessas variáveis livres.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a matriz aumentada M = a & 0 & b & 2 a & a & 4 & 4 0 & a & 2 & b :
Para analisar as soluções do sistema, precisamos trazer essa matriz para a forma escalonada ou forma reduzida por linhas usando operações elementares. Isso nos ajudará a identificar as pivôs e as variáveis livres.

Passo 4

Vamos começar aplicando a eliminação de Gauss. Primeiro, usamos a primeira linha para eliminar o termo a & 0 & b & 2 0 & a & 4 - b & 2 0 & a & 2 & b da segunda linha. Subtraindo a primeira linha da segunda:

Passo 5

Agora, vamos eliminar o termo a & 0 & b & 2 0 & a & 4 - b & 2 0 & 0 & 2 - (4 - b) & b - 2 da terceira linha usando a segunda linha. Para isso, subtraímos a segunda linha da terceira:
a & 0 & b & 2 0 & a & 4 - b & 2 0 & 0 & b - 2 & b - 2
Simplificando a terceira linha:

Passo 6

Para que o sistema tenha duas variáveis livres, precisamos que haja exatamente duas pivôs e uma equação dependente. Observando a terceira linha, temos . Isso acontece de duas maneiras:
  1. Se , então , o que significa que não é livre.
  2. Se , a equação se torna , e pode ser uma variável livre.
Portanto, para termos duas variáveis livres, devemos ter .

Passo 7

Com a & 0 & 2 & 2 0 & a & 2 & 2 0 & 0 & 0 & 0 , a matriz fica:
Agora, temos duas pivôs (nas colunas 1 e 2) e a terceira coluna corresponde a uma variável livre.

Passo 8

Além disso, precisamos garantir que as duas primeiras linhas sejam consistentes. Para isso, não pode ser zero, pois se , a segunda coluna não teria um pivô, o que alteraria o número de variáveis livres.

Passo 9

Resumindo, para que o sistema tenha duas variáveis livres:

Resposta

Os valores de e que fazem o sistema ter duas variáveis livres são e qualquer número diferente de zero, ou seja, e .

Exercícios relacionados

Responda falso ou verdadeiro a cada uma das afirmações abaixo (justifique suas respostas). Se A e B são matrizes n times n tais que A B=0 então B A=0.
Sejam A e B duas matrizes quadradas n times n. Voltando ao caso a). Mostre que: Se A e B são duas matrizes quadradas n times n, então (A+B)^2= A^2+2 A B+B^2 se e somente se A B=B A.
Considere a matriz A=[lll1 & 2 & 3 1 & 1 & 2 0 & 1 & 2]. Calcule o det(A^n), para todo número natural n.
Sabendo-se que para toda matriz, n times n, A com det(A) neq 0 existe uma matriz, n times n, barA tal que barA A=In, mostre que: se det(B) neq 0(B matriz n times n) então existe uma única B^-1 tal que B B^-1=B^-1 B=In.