Seja a matriz ampliada (ou aumentada) do sistema linear. Para que valores de a e b o sistema admite: Solução com duas variáveis livres.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos apresenta uma matriz aumentada de um sistema linear e pede para descobrir para quais valores de e o sistema tem duas variáveis livres. Isso está relacionado ao estudo de sistemas lineares e espaços vetoriais, especificamente sobre o número de soluções que o sistema pode ter.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ter duas variáveis livres. Em um sistema linear, variáveis livres são aquelas que não são pivôs (ou seja, não lideram nenhuma equação após a redução da matriz). Se temos duas variáveis livres, isso implica que o sistema tem infinitas soluções, e podemos expressar as soluções em termos dessas variáveis livres.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a matriz aumentada M = a & 0 & b & 2 a & a & 4 & 4 0 & a & 2 & b :
Para analisar as soluções do sistema, precisamos trazer essa matriz para a forma escalonada ou forma reduzida por linhas usando operações elementares. Isso nos ajudará a identificar as pivôs e as variáveis livres.
Passo 4
Vamos começar aplicando a eliminação de Gauss. Primeiro, usamos a primeira linha para eliminar o termo a & 0 & b & 2 0 & a & 4 - b & 2 0 & a & 2 & b da segunda linha. Subtraindo a primeira linha da segunda:
Passo 5
Agora, vamos eliminar o termo a & 0 & b & 2 0 & a & 4 - b & 2 0 & 0 & 2 - (4 - b) & b - 2 da terceira linha usando a segunda linha. Para isso, subtraímos a segunda linha da terceira:
a & 0 & b & 2 0 & a & 4 - b & 2 0 & 0 & b - 2 & b - 2
Simplificando a terceira linha:
Passo 6
Para que o sistema tenha duas variáveis livres, precisamos que haja exatamente duas pivôs e uma equação dependente. Observando a terceira linha, temos . Isso acontece de duas maneiras:
Se , então , o que significa que não é livre.
Se , a equação se torna , e pode ser uma variável livre.
Portanto, para termos duas variáveis livres, devemos ter .
Passo 7
Com a & 0 & 2 & 2 0 & a & 2 & 2 0 & 0 & 0 & 0 , a matriz fica:
Agora, temos duas pivôs (nas colunas 1 e 2) e a terceira coluna corresponde a uma variável livre.
Passo 8
Além disso, precisamos garantir que as duas primeiras linhas sejam consistentes. Para isso, não pode ser zero, pois se , a segunda coluna não teria um pivô, o que alteraria o número de variáveis livres.
Passo 9
Resumindo, para que o sistema tenha duas variáveis livres:
Resposta
Os valores de e que fazem o sistema ter duas variáveis livres são e qualquer número diferente de zero, ou seja, e .